Золотое сечение — это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве — во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло. Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая — ко всему целому. Приблизительная его величина — 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени. Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом, отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
Пропорция золотого сечения известна людям уже несколько тысяч лет и всё это время не теряет популярности как в чисто математической среде, так и среди художников, скульпторов, философов, биологов. Золотое сечение можно найти в:
- Классической живописи
- Скульптуре
- Архитектуре
- Принципах перспективы и композиции фотографий
- Пропорциях человеческого тела
- Ракушках
- Растениях
- Развитии эмбрионов
- Ветвях галактик
- И во множестве других, подчас весьма необычных, сфер.
Сегодня мы будем говорить о растениях.
Из труда А. Цезинга “Эстетические исследования”.
Идея золотого сечения очень проста. Возьмем отрезок, и разделим его на две части Существует единственный способ разделить отрезок на две части с длинами ,
так что отношение длины всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей. В самом деле, пусть длина отрезка
; по условию
Определив и немного преобразовав систему, получим квадратное уравнение:
У этого уравнения единственный положительный корень
Число называется числом Фидия или, попросту, пропорцией золотого сечения.
На заглавной картинке изображен цветок подсолнечника маслянистого – растения, масло из семян которого вы почти наверняка регулярно употребляете в пищу. С точки зрения ботаники, большой красивый цветок подсолнуха называется “соцветием-корзинкой”. Желтые лепестки соцветия – видоизмененные листья; они окаймляют корзинку из крошечных желтых цветков, каждому из которых после опыления суждено превратиться в семечко. Рассматривая корзинку подсолнуха, мы можем обнаружить удивительный факт:
Человеческий глаз легко различает, как семена группируются по спиралям – левым и правым. Их число различно. Приложив усилия, можно сосчитать, что в цветке подсолнуха на фотографии 21 спираль идет по часовой стрелке и 34 спирали – против часовой. Количества подобных спиралей называются в ботанике парастическими числами (parastichy numbers). Интересно то, что что близко к
. Это не случайно.
Ещё больше примеров парастических чисел
Оказывается, у множества видов растений у здорового, неповрежденного цветка или розетки имеется тенденция к выбору в качестве парастических чисел двух соседних чисел следующего ряда:
Эта последовательность широко известна как последовательность Фибоначчи. Она начинается с двух единиц; каждое следующее число последовательности – сумма двух предшествующих. У ряда Фибоначчи много замечательных свойств, главным из которых для нас является то, что отношение двух соседних членов стремится к . Этот замечательный факт напрямую вытекает из явной формулы для чисел ряда Фибоначчи, так называемой формулы Бине:
Как можно видеть, отношение двух соседних членов ряда Фибоначчи быстро стремится в . На самом деле, это характерно для любого рекуррентного ряда, строящегося по формуле “каждый следующий член равен сумме двух предыдущих”.
Откуда же члены последовательности Фибоначчи взялись в цветке?
Процесс формирования корзинки называется филлотаксисом. Внутри центральной части корзинки подсолнуха – меристемы – происходит деление зародышевых клеток, образующих сначала цветок, а потом и семечко. Сразу после рождения цветок начинает выталкиваться младшими братьями и сестрами в радиальном направлении от центра.
Закон движения единичного цветка в корзинке проще всего описать в радиальной системе координат – по радиусу и углу. Для цветка номер из
рожденных меристемой, его радиальные координаты описываются примерно так:
Помимо и
мы видим здесь два параметра –
и
.
– некая постоянная величина, связанная с размерами цветка в соцветии.
Закон радиального выталкивания легко обосновать физически, приняв за внимание, что цветки соцветия приблизительно одинакового размера и должны покрывать собой всю свободную площадь корзинки. Интереснее закон направления
. Он зависит от константы
, которая для подсолнуха с высокой точностью равна
Иными словами, порождая цветок, меристема задает ему направление движения, каждый раз меняя его это направление относительно предшествующего поворотом на .
Примерно таким образом
Это число, , неявным образом закодировано в геноме растения. Для того, что бы понять, что это и откуда оно берется, разделим его на
, то есть вычислим, какую долю полного оборота оно составляет:
Вот где прячется золотое сечение! Но зачем оно нужно растению?
Для ответа на этот вопрос, обратимся к уникальному свойству числа– его разложению в цепную дробь.
Любое действительное число можно представить следующим способом:
Где целое число; прочие
натуральные числа. Такое представление называется цепной дробью. Если число – рациональное, его представление в виде цепной дроби насчитывает конечное число членов, и вычисляется посредством алгоритма Евклида. В противном случае, представление числа в виде цепной дроби выражается бесконечной последовательностью знаменателей. Например, знаменитое число
расписывается в виде цепной дроби вот так:
Наиболее важным свойством цепных дробей для математики является то, что они кодируют наилучшие рациональные приближения данного числа. В самом деле, попробуем “обрезать” дробь по одной из контурных линий. Мы получим рациональное число, приблизительно равное . Утверждается, что для каждого из них не существует рационального числа с меньшим знаменателем, более близкого к
:
Вычисления взяты из замечательной книжки В. Арнольда “Цепные дроби”
Сравните приближение
и
И в том и в другом случае мы получили 6 значимых цифр после запятой, но в одном случае знаменатель – 113, а в другом – 10000000. Разница, как говорится, налицо.
Теперь, наконец, разложим в цепную дробь. Получится следующее:
Рациональные приближения, полученные посредством обрезания этого представления, выглядят так:
Легко видеть, что это ни что иное, как отношения соседних членов ряда Фибоначчи. И вот теперь, сравнивая цепочку рациональных приближений числа с аналогичной цепочкой числа
мы можем видеть главное математическое свойство пропорции золотого сечения.
Для любого достаточно большого , у
больше рациональных приближений со знаменателем меньше чем
, чем у любого другого иррационального числа.
В самом деле. Приближая , мы видим, что уже у седьмого приближения знаменатель вырос до 99532. У
знаменатель седьмой дроби – 34. Алгоритм вычисления рационального приближения из частичного представления цепной дроби прост, и мы не будем его здесь приводить. Выведя его, легко видеть, что чем меньше числа в ряду, тем меньше будут представления, а натуральных чисел меньше, чем ряд из последовательных единиц, нельзя и представить. Одновременно с этим,
является наиболее плохо приближенным числом из всех, в том смысле, что с ростом знаменателя число угаданных знаков приближения растет максимально медленно, насколько это возможно. Этот факт является прямым следствием из теоремы Гурвинца и его доказательство довольно занудно, так что мы не будем включать его в данную статью.
Суха теория, друзья, но древо жизни пышно зеленеет. Настало время сложить всё вышесказанное, и понять, как связаны: филлотаксис подсолнуха, угол , последовательность Фибоначчи, цепные дроби и рациональные приближения. И вместо того, что бы рассказать, лучше показать:
Интерактивное онлайн-демо, иллюстрирующее процесс филлотаксиса
Перейдя по ссылке, вы увидите небольшую онлайн-демонстрацию процесса формирования корзинки подсолнуха. Вы можете регулировать угол порождения меристемой цветков и их количество, или изучать спирали, полученные путем выделения каждого ного зерна, начиная с первого, где n (ранг) – знаменатель одно из рациональных приближений для выставленного вами угла. Вы увидите, что при углах
и некоторых других зерна в корзинке распределены почти равномерно, а число рациональных приближений с небольшим основанием максимально; для других углов число рациональных приближений невелико, а зерна подсолнуха четко группируются в спирали, причем их число соответствует знаменателю дроби того или иного рационального приближения выставленного угла. И глядя на это, даже не оперируя сложной математикой вы можете дать правильный ответ на поставленный в заголовке вопрос:
Золотое сечение в подсолнухе обеспечивает наиболее равномерное распределение семян в корзинке за счет наихудшего его приближения рациональными числами и максимизации числа спиралей небольшого ранга, вдоль которых упорядочены семена.
Настоящая статья написана по мотивам кружковых занятий Малого Мехмата МГУ для старших классов. В статье использованы следующие источники:
- А. Цезинг “Эстетические исследования”
- В. Арнольд “Цепные дроби”
- А. Щетников “Загадки филлотаксиса” (видео)
- “Математическая составляющая / Филлотаксис” – энциклопедия по популярной математике
- “Special Topics – Lessons from Biology for Engineering Tiny Devices / Lessons 12: Spirals and phyllotaxis” – цикл популярных лекций Принстонского университета, посвященных спиралям.
- Takuya Okabe, Atsushi Ishida and Jin Yoshimura – The unified rule of phyllotaxis explaining both spiral and non-spiral arrangements – более строгое математическое описание процесса развития цветка.
- Математика листьев: как один необычный куст изменил уравнение модели роста растений – статья на habr.com с прелестными анимироваными иллюстрациями.
- Wikipedia: Golden ratio, Continued fraction, Fibonacci number, Hurwitz’s theorem.
- Интерактивное онлайн-демо, иллюстрирующее процесс филлотаксиса
Автор: Антонов Артем
Источник: https://habr.com/