Нами с помощью математического моделирования проведено исследование механизма перекачки электропроводной жидкости с помощью вращающегося магнитного поля через МГД-канал специализированный двигательной МГД-установки. Вначале расскажем о том, какие варианты реализации такой системы существуют и что из этого получается на настоящий момент времени. Итак, течения электропроводящих жидкостей в магнитных полях встречаются в МГД – генерато­рах, насосах, двигателях, ускорителях и расходомерах, использующихся в энергетике, металлур­гии, электротехнической, химической и атомной промышленности, в биомедицинских приложе­ниях и нефтегазовой отрасли. Отдельным направлением применения магнитных полей для уско­рения электропроводящих жидкостей и газов является использование специализированных МГД – систем в качестве перспективных двигательных силовых установок для морских судов и космиче­ских аппаратов. Первый кондукционный МГД- двигатель для морских судов был предложен еще в 1957 году ХХ-го века [1].

В 60-е годы ХХ-го столетия возможность создания двигательных установок на магнитогидродинамических принципах широко изучалась в США, СССР и Японии. Это были в основном теоретические исследования, направленные на изучение разных типов двигательных МГД – установок [2–4]. Первая экспериментальная работа по изучению работоспособности кон­дукционного МГД- двигателя для морских судов была проведена в конце 60-х годов ХХ-го века в США [5]. Однако первоначальный оптимизм исследователей столкнулся с фактом низкой эффек­тивности таких МГД – устройств по причине слабой электропроводности морской воды и после­ дующие экспериментальные исследования были возобновлены только в середине 70-х годов про­шлого века в Японии [6, 7]. Одновременно в США проводились аналогичные эксперименты, кото­рые показали, что для достижения удовлетворительной эффективности работы морского МГД – двигателя напряженность магнитного поля в его рабочей камере должна быть не менее 5 Тл при ее объеме около 100 м3 , что практически выполнить сложно без применения сверхпроводниковых магнитов. Только в 1992 году в Японии на воду был спущен катамаран с кондукционным МГД – двигателем на постоянных сверхпроводниковых магнитах, конструкция которого была разработа­ на еще в 1978 году [8]. КПД этой силовой МГД -установки не превышало нескольких процентов, не смотря на множество предложенных и апробированных методов ее увеличения [9]. В качестве альтернативы были предложены морские индукционные МГД – двигатели на основе переменных

«бегущих» магнитных полей, которые в отличие от ранее предложенных конструкций, не исполь­зуют прямое пропускание электрического тока через морскую воду и движущая сила Лоренца возникает за счет взаимодействия внешнего магнитного поля с индуцированными в воде электри­ческими токами. Однако эффективность этих устройств также оказалась очень низкой. Рядом ав­торов были предложены способы увеличения КПД индукционного морского МГД- двигателя пу­ тем введения в конструкцию рабочей камеры дополнительного магнитного преобразователя в ви­ де цилиндрического слоя жидкости с высокой электрической проводимостью, заключенного в гибкую мембранную оболочку, что позволяет увеличить коэффициент электромеханического пре­ образования энергии [10 – 12]. Однако создание таких модернизированных устройств сопряжено с технологическими трудностями, которые до настоящего времени все еще не преодолены [13].

В настоящее время активно изучаются МГД -ускорители плазмы для перспективных двига­ тельных установок космических аппаратов. Фундаментальные возможности создания и эффектив­ность линейных кондукционных МГД – ускорителей плазмы были впервые изучены в [14, 15]. Кондукционные МГД – ускорители с диагональным расположением электродов были описаны и изучены в [16]. Линейный кондукционный МГД – ускоритель на ионизованном воздухе в качестве рабочего газа, находящегося в температурном и химическом равновесии был исследован в [17]. Сравнительные исследования кондукционных МГД – ускорителей с разным относительным рас­ положением рабочих электродов в устройстве было проведено в [18-20]. Можно констатировать, что предложенные к настоящему времени конструкции кондукционных МГД – ускорителей плаз­ мы обладают высокой эффективностью с КПД более 50 % за счет высокой электропроводности рабочего ионизованного газа, однако широкого распространения они все еще не получили.

Индукционные и кондукционные линейные МГД – насосы используются для прокачки электропроводящих жидкостей в охлаждающих контурах атомных электростанций и при прокачке жидких металлов в металлургической промышленности. Экспериментальное изучение эффектив­ ности этих устройств в зависимости от конструкции и параметров магнитного поля проводилось в [21-23], а теоретический базис был разработан и развит в [24-27]. Индукционные МГД- насосы, создающие перепад давления до 0.6 МПа и обеспечивающие прокачку до 60 м3 /мин жидкого ме­талла бьли предложены и изучены в [28, 29]. Можно констатировать, что КПД этих МГД – уст­ройств достаточно высок в силу хорошей электропроводности рабочей жидкости в виде расплава металла.

Перемешивание электропроводящих жидкостей с помощью вращающихся магнитных полей широко используется при выращивании кристаллов и в технологических процессах металлургиче­ской промышленности. Поэтому течения расплавленного металла в замкнутой емкости, помещенной во вращающееся магнитное поле, широко исследовались теоретически [30-34] и экспериментально [35, 36]. Такие течения характеризуются гидродинамической неустойчивостью, выражающейся в стохастическом характере процессов вихреобразования. Физические механизмы, вызывающие маг­нитогидродинамическую неустойчивость при перемешивании металлов с помощью вращающегося магнитного поля изучались во множестве теоретических и экспериментальных работ [37–45].

За последние годы был предложен целый ряд биомедицинских устройств и методов на основе магнитных полей: устройства для магнитной сепарации клеток, управляемый транспорт медика­ментов с помощью магнитных частиц, магнитное заживление ран и профилактика раковых опухо­лей с помощью магнитной гипертермии, уменьшение кровотечений во время операций и создание условий для закупорки мелких сосудов в области раковых опухолей, разработка магнитных трас­ серов и т.д. [46-53]. Поэтому теоретическое и экспериментальное исследование кровотока в маг­нитных полях также имеет большое значение при создании перспективных МГД – устройств для биомедицинских приложений [54-65].

К особому типу практических задач, встречающихся в атомной промышленности, металлур­гии и геологии относятся задачи о течении электропроводящих жидкостей в пористых средах в присутствии внешнего магнитного поля [79-81].

Большинство существующих на сегодня МГД- устройств имеет рабочую камеру в виде пря­молинейного канала с различной геометрией поперечного сечения. Поэтому исследование харак­теристик течения электропроводящих жидкостей в каналах произвольной геометрии поперечного сечения в присутствии внешнего магнитного поля имеет фундаментальное значение для разработ­ки новых и оптимизации существующих МГД-устройств различного назначения. Теоретические исследования течений электропроводящих жидкостей в цилиндрических каналах кругового сече­ния с непроводящими [66, 67] и проводящими [68-70] стенками в присутствии поперечного одно­ родного магнитного поля проводились еще с середины 50-х годов ХХ-го века. Более поздние тео­ретические исследования были направлены на изучение течений электропроводящих жидкостей в каналах треугольного сечения в поперечном постоянном однородном магнитном поле [71, 72]. В последующих работах изучались течения электропроводящих жидкостей в каналах произвольного сечения [73, 74]. Особое внимание исследователей было сконцентрировано на каналах прямо­угольного сечения [75] при больших напряженностях магнитного поля и высокой электропровод­ности рабочей жидкости [76-78], так как эта геометрия рабочей камеры, характеристики магнит­ного поля и рабочей жидкости наиболее характерны для многих из сегодняшних МГД – устройств. Многие из перечисленных МГД – систем имеют низкую эффективность при преобразовании энергии внешнего магнитного поля в энергию движения рабочей жидкости. Это напрямую связано с особенностями пространственного распределения возникающей в жидкости силы Лоренца, яв­ляющейся результатом взаимодействия индуцированных в жидкости полевых электромагнитных структур и внешнего электромагнитного поля за счет потокосцепления. Использование скрещен­ных постоянных магнитных и электрических полей в МГД – устройствах кондукционного типа может быть эффективно только при условии высокой электропроводности рабочей жидкости. При этом пропускание постоянного электрического тока через рабочую жидкость может вызвать ее электролиз, что нежелательно во многих практических приложениях. Наличие электродов в рабо­чей камере МГД – устройства приводит к их быстрому выгоранию или к возникновению запорно­го электрохимического слоя при электролизе рабочей жидкости, что снижает надежность устрой­ства и эффективность электромеханического преобразования энергии. Поэтому с технологической точки зрения более предпочтительны индукционные МГД – устройства. Применение бегущих электромагнитных полей в существующих МГД – устройствах индукционного типа малоэффек­тивно в условиях, когда электропроводность рабочей жидкости невелика. Потому поиск новых технических решений, которые будут обеспечивать высокие потокосцепление и коэффициент электромеханического преобразования энергии в МГД – устройствах индукционного типа являет­ся важной практической задачей. По нашему мнению, использование вращающегося магнитного поля, направленного поперек потока рабочей жидкости в МГД – устройстве может хорошо решить эту задачу.

Настоящее исследование направлено на изучение физических механизмов и характера влияния внешнего вращающегося однородного магнитного поля, направленного поперек потока электропро­водящей жидкости в рабочей  камере  индукционного  МГД-устройства,  имеющей  форму  идеально­го без шероховатостей цилиндрического канала конечной длины с непроводящими стенками. Мы полагаем, что вращающееся однородное магнитное поле может создать закрученный поток рабочей жидкости в рассматриваемой системе при высоком уровне электромеханического преобразования энергии. Из анализа существующей литературы можно утверждать, что комплексные и системати­зированные исследования течений электропроводящей жидкости во внешнем однородном вращаю­щемся магнитном поле большой напряженности ранее не проводились. Полагаем,  что  результаты этого исследования могут быть полезны для оценки принципиальных возможностей создания новых высокоэффективных МГД – устройств индукционного типа со слабо проводящей рабочей средой на основе вращающихся магнитных полей для применения в самых разных научных и технологических приложениях.

Физика рассматриваемых явлений

Рассмотрим рис. 2, где приведена расчетная схема взаимного пространственного  расположения индуцированных электрических токов и силы Лоренца в начальный момент времени, когда на стационарный поток жидкости в рабочей камере МГД – устройства налагается поперечное магнитное поле, направленное вдоль оси . Наложенное поле вызывает силу Лоренца, которая приводит в равновесное движение анионы и катионы в жидкости. При этом индуцированный поток заряженных частиц в жидкости имеет вид двух разнонаправленных контуров с замкнутыми вихревыми электрическими токами, протекающими в поперечном сечении канала. Эти токи, находясь во внешнем магнитном поле, создают силу Лоренца, действующую на поток жидкости. Видно, что в начальный момент времени сила Лоренца действует на поток жидкости вдоль оси  вблизи тех точек стенки канала, где вектор внешнего магнитного поля пересекает стенку канала под прямым углом и тормозит жидкость в центральной части канала. Индуцированная сила Лоренца искажает профиль скорости жидкости, «сжимая» его в направлении, перпендикулярном направлению вектора внешнего магнитного поля и «растягивая» его в направлении, параллельном внешнему полю, не вызывая вторичных течений рабочей жидкости в плоскости поперечного сечения канала.

Ниже приводим схематическое изображение контуров индуцированных электрических токов (тонкие замкнутые линии со стрелками) и сил Лоренца (большие стрелки) для случая неподвижного однородного поля в начальный момент времени (рис. 2) и для случая вращающегося поля (рис. 3).

Рис. 2. Внешнее поле не вращается

Рис. 3. Внешнее поле вращается

Рассмотрим рис. 3, где приведена расчетная схема взаимного пространственного  расположения индуцированных электрических токов и сил Лоренца, когда наложенное поперечное магнитное поле начинает вращаться вокруг оси z с частотой . Вращение внешнего магнитного поля создает дополнительную компоненту , направленную перпендикулярно вектору  в плоскости поперечного сечения канала. Максимальное значение вектора  достигается в точках, где вектор  пересекает стенку канала под прямым углом, а минимальное значение  в точках, где вектор  параллелен стенке канала. При этом на оси z вектор обращается в нуль. Наличие дополнительной компоненты поля  в начальный момент времени разнонаправлено отклоняет большие оси контуров с индуцированными замкнутыми электрическими токами от плоскости поперечного сечения канала на угол  и сформировавшаяся динамическая МГД – конфигурация начинает вращаться вокруг оси z с частотой . Одновременно увеличивается площадь этих циркуляционных контуров и плотность индуцированных электрических токов. Наличие угла между контурами индуцированных токов приводит к повороту силы Лоренца относительно плоскости поперченного сечения канала и увеличению ее абсолютного значения с ростом напряженности внешнего магнитного поля. В результате энергия внешнего магнитного поля преобразуется не только в энергию поступательного движения жидкости, но и в энергию вращения рабочей жидкости вокруг оси z.

Рассмотрим рис. 4 – 5, где представлены некоторые результаты проведенного математического моделирования. Видно, что с ростом напряженности внешнего магнитного поля при фиксированной частоте вращения внешнего магнитного поля и неизменном расходе жидкости через рабочую камеру, картина течения изменяется. С ростом напряженности магнитного поля скорость вращения жидкости возрастает. При этом изменяется профиль продольной составляющей вектора скорости жидкости. Это указывает на то, что с увеличением напряженности внешнего магнитного поля электромеханическое преобразование энергии в системе «магнитное поле – поток электропроводящей жидкости» усиливается. Разумеется, интерес представляет изучение и понимание механизма влияния внешнего магнитного поля на интегральные динамические и локальные гидродинамические характеристики рассматриваемой магнитогидродинамической системы.

Рис. 4. Напряженность 5 Тл

Рис. 5. Напряженность 20 Тл

На малых частотах электромагнитная энергия поля трансформируется в энергию продольного движения жидкости, а при частотах  электромагнитная энергия преимущественно расходуется на увеличение механической энергии вращения жидкости. Очевидно, что с ростом частоты  возрастает плотность индуцированных токов , которые находятся в прямой зависимости от значений физических параметров внешнего магнитного поля ,  и участвуют в суммарном преобразовании энергии поля в энергию вращательно – поступательного движения рабочей жидкости в рассматриваемой системе. Однако, не смотря на это, при частотах  потокосцепление ослабевает, что выражается в эффекте «проскальзывания» внешнего магнитного поля и уменьшении значения . В тоже время с ростом частоты вращения магнитного поля скорость вращения жидкости все же увеличивается. Сформировавшиеся вторичные течения в плоскости поперечного сечения рабочей камеры влияют на профиль продольной составляющей вектора скорости рабочей жидкости, вытягивая его в центральной части камеры МГД – устройства (рис. 6 и рис. 7).

Рис. 6. Напряженность 5 Тл

Рис. 7. Напряженность 20 Тл

Литература

1. Rice W.A. Patent No. 2.997.013, filed 15 July 1958, granted 1961.
2. Friauf J.B. Electromagnetic Propulsion System. // J. Am. Soc. Naval Eng. – 1961. – V. 139.
3. Phillips O.M. The Prospects for Magnetohydrodynamic Ship Propulsion. // J. Ship Res. – 1962. – V. 5. – P. 43 – 51.
4. Doragh R.A. Magnetohydrodynamic Ship Propulsion Using Superconducting Magnets. // Soc. Naval Arch. Mar. Eng. – 1963. – V. 71. – P. 370 – 376.
5. Way S. Electromagnetic Propulsion for Cargo Submarines. // J. Hydraul. – 1967. – V. 2. – P. 49 – 58.
6. Saji Y., Kitano M., Iwata A.A. Basic Study of Superconducting Electromagnetic Thrust Device for Propulsion in Seawater. // Adv. Cryogen. Eng. – 1978. – V. 23. – P. 159 – 164.
7. Saji Y., Kitano M., Iwata A. Superconducting Electromagnetic Marine Engineering. // Proc. of the 7th Cryogenic Engineering Conf., London 1977. – 1978. – P. 344 – 350.
8. Hummert G.T. An Evaluation of Dierct Current Electromagnetic Propulsion in Seawater. // Office of Naval Research Report ONR-CR168-007-1. – 1979.
9. Mitchell D.L., Gubser D.U. Magnetobydrodynamic Ship Propulsion with Superconducting Magnets. // J. Supereond. – 1988. – V. 1. – P. 349 – 355.
10. Nishiyama Y., Homma T. An Electromagnetic Pump for Seawater Jet Propulsion. // 2nd International Ocean Device Conference. – Tokyo. – 1972. – P. 843 – 849.
11. Migotsky E., Neuringer J.L. Application of a Special Magnetohydrodynamic Compressor to Undersea Propulsion. // In Underwater Missile Propulsion, L. Greiner, ed. Compass Publications. – Arlington. – Virginia. – 1967. – P. 249 – 260.
12. Kirillov I.R. Electromagnetic Pumps for Nuclear Power. // Magnetohydrodynamics. – 1983. – V. 3. – P. 284 – 292.
13. Mitchel D.L., Gubser D.U. Induction-Drive Magnetohydrodynamic Propulsion. // Journal of Superconductivity. – 1993. – V. 6. – No. 4. – P. 28 – 34.
14. Harada N. MHD Acceleration Studies at Nagaoka University of Technology. // AIAA paper 2001–2744. – 2001.
15. Harada N., Ikewada J., Terasaki Y. Basic studies on an MHD accelerator. // AIAA paper 2002–2175. – 2002.
16. Harada N., Takahashi S., Lineberry J.T. Comparative study of electrode connections of an MHD accelerator. // AIAA paper 2003–4288. – 2003.
17. Anwari M., Takahashi S., Harada N. Performance study of a magnetohydrodynamic accelerator using air-plasma as working gas. // J. Energy Conversion Manage. – 2005. – V. 46. – P. (15–16):2605.
18. Anwari M., Takahashi S., Harada N. Numerical simulation for performance of an MHD accelerator. // AIAA paper 2004–2363. – 2004.
19. Litchford R.J. Performance theory of diagonal conducting wall MHD accelerators. // AIAA paper 2003–4284. – 2003.
20. Anwari M., Sakamoto N., Hardianto T., Kondo J.I., Harada N. Numerical analysis of magnetohydrodynamic accelerator performance with diagonal electrode connection. // Energy Conversion and Management. – 2006. – V. 47. – P. 1857–1867.
21. Kirillov I.R., Ogorodnikov A.P., Ostapenko V.P. Experimental investigation of flow nonuniformity in a cylindrical linear induction pump. // Magnitnaya Gidrodinamika. – 1980. – V. 2. – P. 107–113
22. Kirillov I.R., Ostapenko V.P. Local characteristics of a cylindrical induction pump for Rms-1. // Magnitnaya Gidrodinamika. – 1987. – V. 2. – P. 95–102.
23. Rapin J., Vaillant P., Werkoff F. Experimental and theoretical studies on the stability of induction pumps at large Rm numbers. // In: Lielpeteris J., Moreau R. (Eds.). Liquid Metal Magnetohydrodynamics. – Kluwer. – Dordrecht. – 1989.  – P. 325–331.
24. Kliman G.B. Large electromagnetic pumps. // Electr. Mach. Electromech. – 1979. – V.3. – P. 129–142.
25. Valdmane R.A. Calculation of the characteristics of an induction-type MHD pump for Rms-1 with allowance for the nonuniform distribution of the external magnetic field. // Magnitnaya Gidrodinamika. – 1982. – V.3. – P. 98–104.
26. Polovko Y.A., Tropp E.A. Asymptotic and numerical investigation of a one-dimensional turbulent flow model in an inductive cylindrical MHD pump. // Magnitnaya Gidrodinamika. – 1986. – V. 4. – P. 106–113.
27. Werkoff F. Finite-length effects and stability of electromagnetic pumps. // Exp. Fluid Sci. – 1991. – V. 4. – P. 166–170.
28. Andreev A.M. The TsLin-3:3500 electromagnetic pump. // Magnitnaya Gidrodinamika. – 1988. – V. 1. – P. 61–67.
29. Karasev B.G., Kirillov I.R., Ogorodnikov A.P. 3500 m3:h MHD pump for fast breeder reactor. // In: Lielpeteris J., Moreau R. (Eds.). Liquid Metal Magnetohydrodynamics. – Kluwer. – Dordrecht. – 1989. – P. 333–338.
30. Priede J., Gelfgat Y.M. Numerical simulation of the mhd flow produced by a rotating magnetic field in a cylindrical cavity of finite length. // Magnetohydrodynamics. – 1997. – V. 33, – No. 2. – P. 172–179.
31. Barz R.U., Gerbeth G., Wunderwald U., Buhrig E., Gelfgat Y.M. Modelling of the isothermal melt flow due to rotating magnetic fields in crystal growth. // J. Crystal Growth. – 1997. – V. 180. – P. 410–421.
32. Witkowski L.M., Marty P. Effect of a rotating magnetic field of arbitrary frequency on a liquid metal column // Eur. J. Mech. B Fluids. – 1998. – V. 17. – P. 239–254.
33. Gelfgat Y.M., Priede J. MHD flows in a rotating magnetic field (a review). // Magnetohydrodynamics. – 1995. – V. 31. – No. ½. – P. 188–200.
34. Nikrityuk P.A., Eckert K., Grundmann R. Numerical study of a laminar melt flow driven by a rotating magnetic field in enclosed cylinders with different aspect ratios. // Acta Mech. – 2006. – V. 186. – P. 17–35.
35. Volz M.P., Mazuruk K. Flow transitions in a rotating magnetic field. // Exp. Fluids. – 1996. – V. 20. – P. 454–459.
36. Nikrityuk P.A., Ungarish M., Eckert K., Grundmann R. Spin-up of a liquid metal flow driven by a rotating magnetic field in a finite cylinder. A numerical and analytical study. // Phys. Fluids. – 2005. – V. 17. – P. 67 – 101.
37. Mößner R., Gerbeth G. Buoyant melt flow under the influence of steady and rotating magnetic fields. // J. Crystal Growth. – 1999. – V. 197. – P. 341–354.
38. Grants I., Gerbeth G. Stability of axially symmetric flow driven by a rotating magnetic field in a cylindrical cavity. // J. Fluid Mech. – 2001. – V. 431. – P. 407–426.
39. Grants I., Gelfgat Y.M. Stability of swirling-recirculating flow due to rotating magnetic field. // Magnetohydrodynamics. – 1998. – V. 34. – P. 80–88.
40. Grants I., Gerbeth G. Linear three-dimensional instability of a magnetically driven rotating flow. // J. Fluid Mech. – 2002. – V. 463. – P. 229–239.
41. Walker J.S., Witkowski L.M. Linear stability analysis for a rotating cylinder with a rotating magnetic field. // Phys. Fluids. – 2004. – V. 16. – P. 2294–2299.
42. Kaiser T., Benz K. Taylor vortex instabilities induced by a rotating magnetic field: A numerical approach. // Phys. Fluids. – 1998. – V. 10. – P. 1104–1110.
43. Frana K., Stiller J., Grundmann R. Taylor–Görtler vortices in the flow driven by a rotating magnetic field in a cylindrical container. // J. Visualization. – 2005. – V. 8. – No. 4. – P. 323–330.
44. Stiller J., Frana K., Cramer A. Transitional and weakly turbulent flow in a rotating magnetic field. // Phys. Fluids. – 2006. – V. 19. – P. 74–105.
45. Frana K., Stiller J. A numerical study of flows driven by a rotating magnetic field in a square container. // European Journal of Mechanics B/Fluids. – 2008. – V. 27. – P. 491–500.
46. Haik Y., Pai V., Chen C. J. Development of magnetic device for cell separation. // J. Magn. Magn. Mater. – 1999. – V. 194. – P. 261–270.
47. Carlton J.M.R., Yowell C.A., Sturrock K.A., Dame J.B. Biomagnetic separation of contaminating host leukocytes from plasmodiuminfected erythrocytes. // Exp. Parasitol. – 2001. – V. 97. – P. 111–120.
48. Voltairas P.A., Fotiadis D. I., Michalis L.K. Hydrodynamics of magnetic drug targeting. // J. Biomech. – 2002. – V. 35. – P. 813–819.
49. Ruuge E.K., Rusetski A.N. Magnetic fluid as drug carriers: Targeted transport of drugs by a magnetic field. // J. Magn. Magn. Mater. – 1993. – V. 122. – P. 335–341.
50. Badescou V., Rotariu O., Murariu V., Rezlescu N. Transverse high gradient magnetic filter cell with bounded flow field. // IEEE Trans. Magn. – 1997. – V. 33. – P. 4439–4440.
51. Andra W., Nowak H. Magnetism in Medicine. // Wiley VCH. Berlin. – 1998.
52. Liu J., Flores G.A., Sheng R. In-vitro investigation of blood embolization in cancer treatment using magnetorheological fluids. // J. Magn. Magn. Mater. – 2001. – V. 225. – P. 209–219.
53. Plavins J., Lauva M. Study of colloidal magnetite binding erythrocytes: Prospects for cell separation. // J. Magn. Magn. Mater. – 1993. – V. 122. – P. 349–356.
54. Mishra B.K., Verma N. Magnetic effect on blood flow in a multiple stenosed artery. // J. Applied Mathematics and Computation. – 2007. – V. 5. – P. 25–33.
55. Sadeghy K., Khabazi N., Taghavi S.M. Magnetohydrodynamic (MHD) flows of viscoelastic fluids in converging/diverging channels. // International Journal of Engineering Science. – 2007. – V. 45. – P. 923–938.
56. Loukopoulos V.C., Tzirtzilakis E.E. Biomagnetic channel flow in spatially varying magnetic field. // International Journal of Engineering Science. – 2004. – V. 42. – P. 571–590.
57. Tzirtzilakis E.E., Xenos M., Loukopoulos V.C., Kafoussias N.G. Turbulent biomagnetic fluid flow in a rectangular channel under the action of a localized magnetic field. // International Journal of Engineering Science. – 2006. – V. 44. – P. 1205–1224.
58. Misra J.C., Shit G.C., Rath H.J. Flow and heat transfer of a MHD viscoelastic fluid in a channel with stretching walls: Some applications to haemodynamics. // Computers & Fluids. – 2008. – V. 37. – P. 1–11.
59. Chaturani P., Bharatiya S.S. Magnetic fluid model for two-phase pulsatile flow of blood. // Acta Mechanica. – 2001. – V. 149. – P. 97–114.
60. Sud V.K., Sekhon G.S. Blood flow through human arterial system in the presence of a steady magnetic field. // Physics in Medicine and Biology. – 1989. – V. 34. – № 7. – P. 795–805.
61. Kinouchi Y., Yamaguchi H., Tenforde T.S. Theoretical analysis of magnetic field interactions with aortic blood flow. // Bioelectromagnetics. – 1996. – V. 17. – P. 21–32.
62. Bali R., Awasthi U. Effect of a magnetic field on the resistance to blood flow through stenotic artery. // Applied Mathematics and Computation. – 2007. – V. 188. – P. 1635–1641.
63. Khashan S.A., Haik Y. Numerical simulation of biomagnetic fluid downstream an eccentric stenotic orifice. // Physics of Fluids. – 2006. – V. 18. – No. 11. – P. 24–33. – Art No. 113601.
64. Papadopoulos P.K., Tzirtzilakis E.E. Biomagnetic flow in a curved square duct under influence of an applied magnetic field. // Physics of Fluids. – 2004. – V. 16 (8). – P. 2952–2962.
65. Tzirtzilakis E.E. A mathematical model for blood flow in magnetic field. // Physics of Fluids. – 2005. – V. 17. – P. 1–15. – Art. No. 077103.
66. Shercliff J.A. Steady motion of conducting fluids in pipes under transverse magnetic fields. // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. – 1953. – V. 49. – P. 136–144.
67. Gold R.R. Magnetohydrodynamic pipe flow. Part 1. // Journal of Fluid Mechanics. – 1962. – V. 13. – P. 505–512.
68. Shercliff J.A. The flow of conducting fluids in circular pipes under transverse magnetic fields. // Journal of Fluid Mechanics. – 1956. – V. 1. – P. 644–666.
69. Shercliff J.A. Magnetohydrodynamic pipe flow. Part 2. High Hartmann number. // Journal of Fluid Mechanics. – 1962. – V. 13. – P. 513–518.
70. Chang C., Lundgren S. Duct flow in magnetohydrodynamics. // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik XII. – 1961. – P. 100–114.
71. Singh B., Lal J. MHD axial flow in a triangular pipe under transverse magnetic field. // Ind. J. Pure Appl. Math. – 1978. – V. 9. – P. 101–115.
72. Singh B., Lal J. MHD axial flow in a triangular pipe under transverse magnetic field parallel to a side of the triangle. // Ind. J. Technol. – 1979. – V. 17. – P. 184–189.
73. Singh B., Lal J. Finite element method in MHD channel flow problems. // Internat. J. Numer. Methods Eng. – 1982. – V. 18. – P. 1104–1111.
74. Singh B., Lal J. Finite element method of MHD channel flow with arbitrary wall conductivity. // J. Math. Phys. Sci. – 1984. – V. 18. – P. 501–516.
75. Tezer-Sezgin M., Kuksal S. Finite element method for solving MHD flow in a rectangular duct. // Internat. J. Numer. Methods Eng. – 1989. – V. 28. – P. 445–459.
76. Barrett K.E. Duct flow with a transverse magnetic field at high Hartmann numbers. // Internat. J. Numer. Methods Eng. – 2001. – V. 50. – P. 1893–1906.
77. Bozkaya C. Fundamental solution for some equations in magnetohydrodynamic flow. // In: Proceedings of UKBIM5 International Conference. – Liverpool. – England. – 2005. – P. 90–99.
78. Bozkaya C., Tezer-Sezgin M. Fundamental solution for coupled magnetohydrodynamic flow equations. // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2007. – V. 203. – P. 125–144.
79. Rudraiah N., Ramaiah B.K., Rajasekhar B.M. Hartmann flow over a permeable bed // Int. J. Eng. Sci. – 1975. – V. 13. – P. 1–24.
80. McWhirter J., Crawford M., Klein D. Magnetohydrodynamic flows in porous media II: Experimental results. // Fusion Technology. – 1998. – V. 34. – P. 187–197.
81. Prescott P.J., Incropera F.P. Magnetically damped convection during solidification of a binary metal alloy. // J. Heat Transfer. – 1993. – V. 115. – P. 302–310.
82. Lehmann P., Moreau R., Camel D., Bolcato R. Modification of interdendritic convection in directional solidification by a uniform magnetic field. // Acta Mater. – 1998. – V. 46. – P. 1067–1079.
83. Cramer K.R., Pai S.I. Magnetofluid Dynamics for Engineers and Applied Physicists. // Scripta. – Washington. D.C. – 1973.
84. Hughes W.F., Young F.J. The Electromagnetodynamics of Fluids, 1st ed. Wiley. – New York. – 1966.
85. Sutton G.W., Sherman A. Engineering Magnetohydrodynamics. McGraw-Hill. – New York. – 1965.
86. Fluent Inc. FLUENT 6.2. User’s Guide. Lebanon. NH: Fluent Inc. – 2005.

Автор: Сергей Евгеньевич Корнелик