Его теоремы о неполноте разгромили поиск математической теории всего. Почти сто лет спустя мы всё ещё пытаемся осмыслить последствия этого. В 1931 году австрийский логик Курт Гёдель провернул, вероятно, один из самых потрясающих интеллектуальных трюков в истории. Математики той эпохи искали неколебимые основы математики: набор базовых фактов, аксиом, которые были бы непротиворечивыми и полными, играя роль строительных блоков всех математических истин. Однако шокирующие теоремы Гёделя о неполноте, опубликованные им всего лишь в 25-летнем возрасте, разбили эту мечту. Он доказал, что любой набор аксиом, который вы можете предложить на роль основы математики, неизбежно будет неполным. Всегда найдутся истинные утверждения, касающиеся чисел, которые невозможно будет доказать при помощи этих аксиом. Он также показал, что ни один набор аксиом нельзя использовать для доказательства их собственной непротиворечивости. Его теоремы о неполноте означают, что математической теории всего быть не может, и нельзя объединить множество доказуемых утверждений со множеством истинных. То, что математики могут доказать, зависит от начальных предположений, а не от какой-то фундаментальной истины, из которой происходят все ответы.
Архив рубрики: Наука
Математическая теория упаковки сфер и социальная дистанция: теория и практика
Задача о том, как безопасно снова открыть офисы, школы и другие общественные места, удерживая людей на расстоянии полутора метров друг от друга, сводится к вопросу, который математики изучают уже несколько столетий. Может показаться, что такая тема, как упаковка сфер придётся по душе только математикам. Кому ещё будет интересно искать наиболее эффективные способы размещения кругов на плоскости или сфер в пространстве? Однако сегодня миллионы людей по всему миру размышляют именно об этой задаче. Определить, как безопасно открыть здания и общественные места, соблюдая социальную дистанцию – это, в частности, упражнение в геометрии. Если каждый человек должен находиться на расстоянии не менее полутора метров от других людей, тогда чтобы посчитать, сколько человек может сидеть в классе или столовой, нужно упаковать непересекающиеся круги на плане помещения. Естественно, для борьбы с коронавирусом нужно решить гораздо больше задач, чем эта, геометрическая. Однако упаковка кругов и сфер играет в этом свою роль – так же, как моделирование кристаллических структур в химии и абстрактные пространства сообщений в теории информации. Эта задача, кажущаяся простой по описанию, занимала умы величайших математиков в истории, и интереснейшие исследования в этой области ведутся и сегодня, в частности, в высших измерениях.
Как определить количество звезд во вселенной: галактические наблюдения и оценки
Глядя в ночное небо, астроному-любителю достаточно сложно подсчитать количество видимых невооруженным глазом звезд. С большими телескопами становится видно больше звезд, что делает невозможным счет из-за количества времени, которое на это потребуется. Так как же астрономы выясняют, сколько звезд во Вселенной? «Первая неприятная часть – попытка определить, что означает «вселенная», – сказал Дэвид Корнрайх, доцент в колледже Итака в штате Нью-Йорк. «Я не знаю ответ, потому что я не знаю, бесконечно ли велика вселенная или нет», – сказал он. Наблюдаемая вселенная возвращает нас во времени примерно на 13,8 миллиардов лет назад, но кроме этого, вероятно, мы могли бы видеть намного больше. Некоторые астрономы также думают, что мы можем жить в «мультивселенной», где были бы другие вселенные, подобные нашей, содержащиеся в какой-то более крупной сущности. Самый простой ответ может состоять в том, чтобы оценить количество звезд в типичной галактике, а затем умножить это на предполагаемое количество галактик во Вселенной. Но даже это сложно, так как некоторые галактики лучше видны в видимой части спектра, а некоторые в инфракрасном. Также существуют препятствия для оценки, которые необходимо преодолеть.
Ученые приблизились к решению проблемы добавления вероятностных процессов в работу детерминированных машин
Давняя проблема компьютеров – симуляция броска шулерского кубика. Исследователи на один шаг ближе подошли к добавлению вероятностных процессов к детерминистским машинам. Вот вам обманчиво простое упражнение: придумайте случайный номер телефона. Семь цифр подряд, выбранных так, чтобы каждая из них была одинаково вероятной, и так, чтобы ваш выбор очередной цифры не влиял на выбор следующей. Скорее всего, у вас этого не выйдет. Можете не верить мне на слово – исследования, проводимые ещё с 1950-х годов, показывают, насколько мы неслучайны с математической точки зрения, даже не осознавая этого. Не расстраивайтесь. Компьютеры тоже не генерируют случайных чисел. Они и не должны – программы и аппаратура компьютеров работают на булевой логике, а не на вероятностях. «Компьютерная культура зиждется на детерминизме, — сказал Викаш Мансинхка, руководящий проектом вероятностных вычислений в Массачусетском технологическом институте, — и это проявляется практически на всех уровнях». Однако программисты хотят создавать программы, работающие со случайностью – иногда того требуют задачи. За все эти годы были разработаны хитроумные алгоритмы, которые, хотя и не генерируют случайных чисел, предлагают хитрые и эффективные способы использования и манипулирования случайностью.
Математика распространения коронавируса: секрет коллективного иммунитета в формулах
Коллективный иммунитет меняется от одной местности к другой, а на его подсчёты влияет множество факторов. Довольно сложно просчитать момент, когда заболевание заканчивает полностью распространяться в популяции. Хотя многие аспекты текущей пандемии коронавируса остаются для нас неизвестными, одно мы знаем – закончится она, когда распространение вируса начнёт замедляться, и в итоге практически остановится, из-за того, что достаточное количество людей выработают к нему иммунитет. Получится ли это из-за появления вакцины или из-за распространения болезни – в итоге у популяции появится “коллективный иммунитет“. «Как только уровень иммунитета превысит определённый порог, эпидемия пойдёт на спад, поскольку не сможет найти достаточно новых людей для заражения», — сказала Натали Дин из Флоридского университета. Определить это пороговое значение для коронавируса крайне важно – однако в расчётах точного процента людей, которые должны приобрести иммунитет для появления коллективного иммунитета, защищающего ещё не болевших людей, есть множество нюансов. С первого взгляда всё просто. Вам нужно знать только одно – сколько людей в среднем заражает инфицированный человек.
Теорема о прямоугольных колышках или как можно найти в замкнутой петле все виды прямоугольников?
Джошуа Грин и Эндрю Лобб, скучая на карантине, придумали, как доказать один из вариантов теоремы о прямоугольных колышках. В середине марта математики Джошуа Грин и Эндрю Лобб оказались в сходном положении – закрыты в четырёх стенах, пытаясь приспособиться к росту эпидемии коронавируса. Они решили справиться с ней, углубившись в свои исследования. «Думаю, что пандемия послужила определённым катализатором этого процесса, — сказал Грин, профессор Бостонского колледжа. – Мы решили, что будет лучше налечь на какую-нибудь совместную работу, которая сможет поддержать нас». Одна из проблем, которой решили заняться два друга, был вариант геометрического вопроса, остававшегося без ответа более ста лет. «Эту задачу крайне просто сформулировать и понять, однако она очень сложная для решения», — сказала Элизабет Денн из Университета Вашингтона и Ли. Всё начинается с замкнутой петли – любого искривлённого пути, у которого совпадают начало и конец. Задача, за которую взялись Грин и Лобб, по сути, утверждает, что в любом таком пути найдутся наборы из четырёх точек, составляющих вершины прямоугольника любой заданной пропорции.
