Австралийский физик продемонстрировал возможность ускорения, превышающего g. В статье, опубликованной в журнале Physics Education, австралийский физик подробно исследовал явление падения с ускорением, немного превосходящим стандартное значение ускорения свободного падения (g ≈ 9,8 м/с²). Используя новые численные методы решения нелинейного дифференциального уравнения, он смоделировал падение стержня, закрепленного шарниром в нижнем конце. Результаты показали, что при таком типе крепления верхний конец стержня ускоряется экспоненциально, обгоняя свободное падение в определенном диапазоне начальных углов. Данное исследование опровергает интуитивное представление о невозможности превышения ускорения g для объектов, не подверженных дополнительным вниз направленным силам. Это явление возможно только для протяжённых тел, таких как стержень, закреплённый шарниром.
Вертикальное ускорение центра масс стержня будет меньше, чем g, однако точки вблизи его верхнего конца могут достигать в полтора раза большее ускорение.
Позднее была предложена схема, в которой закреплялся уже верхний конец, а стержень отпускался из горизонтального положения. При этом любой объект, находящийся в состоянии покоя на дальнем конце стержня, сразу же начинает отставать от него, переходя в режим свободного падения. Несмотря на то, что этот феномен известен давно, ни в одной из посвященных ему работ не рассчитана зависимость угла поворота стержня от времени, а лишь записаны сами уравнения движения.
Род Кросс (Rod Cross) из Сиднейского университета решил закрыть этот пробел. Он численно решил динамические уравнения для обеих схем и выяснил, чем падение быстрее g в деталях отличается от свободного падения. Оказалось, что в первой схеме зависимость угла от времени описывается экспоненциальными или гиперболическими функциями.
Механическая модель однородного массивного стержня, закрепленного с одного из концов шарниром принципиально проста. Его падение описывается с помощью единственной координаты — угла. Второй закон Ньютона для вращательного движения стержня связывает его угловое ускорение с синусом угла между стержнем и вертикальной осью.
Получающееся дифференциальное уравнение оказывается нелинейным. Оно имеет решение, выраженное через эллиптические функции Якоби, что довольно трудно анализировать в явном виде. Вместо этого математики часто прибегают к приближенным решениям через ряды Фурье или ряды Тейлора. Наиболее известным стало приближение малых углов применительно ко второй схеме, в котором синус угла заменяется самим углом, в этом случае решения представляют собой гармонические колебания маятника.
Вместо этого Кросс записал и численно решил нелинейное дифференциальное уравнение для обеих схем методом конечных разностей. В первом случае он увидел, что стержень, отпущенный из почти вертикального положения (один градус), ускоряется по закону, который с высокой степенью точности аппроксимируется экспоненциально. Увеличение начального угла потребовало обобщить эту зависимость до гиперболического косинуса. Во втором случае стержень разгоняется по параболическому закону.
Численные решения нелинейного дифференциального уравнения (черные точки) и соответствующие аппроксимации (красные линии) для схемы с закреплением стержня снизу (a) и сверху (b). Rod Cross / Physics Education
Особое внимание автор уделил первой схеме, ее еще называют перевернутым маятником. Интерес к перевернутым маятникам обусловлен прикладной задачей по поиску способа предотвратить падение стержня, перемещая шарнир некоторым образом. В отличие от второго случая, здесь обгон свободного падения концом стержня реализуется не всегда.
Физик следил за зависимостью от времени вертикальной координаты конца стержня и простого мяча для различных начальных углов. Он выяснил, что для стержня с параметрами, которые в гармоническом случае соответствовали бы циклической частоте равной восьми радианам в секунду, его конец будет всегда отставать от мяча при углах меньших 42 градусов. При больших углах мяч опережает конец в начале траектории, но затем тот его обгоняет. Наконец, для углов больше 55 градусов конец стержня ускоряется быстрее мяча в любой момент времени.
Сравнение ускорений свободно падающего мяча и конца стержня в первой схеме при различных стартовых углах. Rod Cross / Physics Education
Простые модели очень часто ведут себя математически сложно. Недавно в этом убедились физики, которые нашли фрактальные свойства в переноске чашки с кофе.
Автор: Марат Хамадеев
Источник: https://nplus1.ru/
