Иллюстрация: Jeremy Schnittman / NASA’s Goddard Space Flight Center. Группа физиков-гравитонистов проделала масштабную работу по исследованию устойчивости черных дыр Керра с малым угловым моментом. Результаты исследования, изложенные в работе объемом 912 страниц, содержат доказательство ряда важных теорем, связанных с постановкой задачи Коши для всех основных вакуумных уравнений Эйнштейна. Авторы также разработали для решения этой задачи новый формализм. Препринт статьи доступен на сайте arxiv.org. Задача Коши в математике и физике формулируется следующим образом: зная состояние системы в определенный момент времени, можно ли предсказать ее дальнейшее развитие? Если да, то как это развитие зависит от начального состояния? Конкретное развитие системы для заданных начальных данных называется решением задачи Коши. Задача Коши считается корректно поставленной, если она имеет единственное и устойчивое решение.
Устойчивость решения задачи Коши подразумевает, что «малые» изменения начальных данных порождают «малые» изменения самого решения. Последние несколько десятков лет теоретики пытались математическим образом доказать устойчивость черных дыр — решений вакуумных уравнений Эйнштейна. В Эйнштейновской гравитации взаимодействие между объектами материи происходит за счет искривления пространства. Само пространство-время может быть описано с помощью пары (M, g), где M — некоторое 4-мерное многообразие , которое имеет одну временную координату t и три пространственных координат xi (i=1, 2, 3), а g — метрика на этом многообразии.
Найти метрику g можно из уравнений Эйнштейна, которые в случае отсутствия материи (в вакууме) имеют вид (подробнее о гравитации Эйнштейна): Rab=0, где Rab — тензор Риччи, который зависит от первых и вторых производных метрики по координатам многообразия M (a, b = 0, 1, 2, 3).
Для задания начальных условий можно зафиксировать метрику g’ на некоторой пространственноподобной гиперповерхности S0 (то есть, на 3-х мерной поверхности в M, любые две точки которой соединены пространственноподобным интервалом) в начальный момент времени t0. Тогда уравнения Эйнштейна можно воспринимать как уравнения, описывающие дальнейшую эволюцию этой гиперповерхности в различные моменты времени. Решением такой задачи Коши является метрика g(t, xi), заданная на M , которая в момент t0совпадает с g’ на гиперповерхности S0, называемой гиперповерхностью Коши. Устойчивость решения приобретает следующий смысл: если мы возьмем две достаточно близких метрики на гиперповерхности Коши S0, то решения гравитационных задач (каждая со своим начальным условием) должны быть также близки.
Гиперповерхность Коши S. Haradhan Kumar Mohajan / MPRA
В одной из первых работ физиков Ивонны Шоке-Брюа (Yvonne Choquet-Bruhat) и Роберта Героха (Robert Geroch) 1969 года была доказана теорема о существовании, единственности и устойчивости решения гравитационной задачи в случае, когда 4-мерное пространство-время (M, g) является глобально гиперболическим пространством или, другими словами, когда любая времени- или светоподобная кривая, проходящая через любую точку 4-мерного пространства, пересекает S0. Однако приведенное ими доказательство не работает в случае решений уравнений Эйнштейна в виде черных дыр, так как последние имеют более сложную причинную структуру.
Спустя 53 года, Элена Джорджи (Elena Giorgi), Серджиу Клейнерман (Sergiu Klainerman) и Джереми Шефтель (Jeremie Szeftel) смогли обобщить теорему на случай асимптотически плоских пространств (которым является черная дыра Керра). В своей работе теоретики показали, что для начальных данных близких к решению в виде вращающейся черной дыры Керра решения асимптотически ведут себя как пространство-время Керра. По-другому, если малым образом возмутить решение Керра, то бесконечно-удаленный наблюдатель, спустя достаточное время, увидит то же решение в виде черной дыры с возможно немного измененными угловым моментом J и массой m. Приведенное физиками доказательство работает в случае вращающихся черных дыр с малым угловым моментом: J/m<<1.
Диаграмма Пенроуза для финального пространства-времени в основной теореме работы. Elena Giorgi et al / arxiv.org
Важным «ингредиентом» для доказательства главной теоремы стал механизм фиксирования калибровочных условий (ОТО является калибровочной теорией относительно диффеоморфизмов пространства-времени), основанный на обще-ковариантно модулированных (GCM, generally covariant modulated) сферах и гиперповерхностях. GCM сферы — это компактные поверхности с коразмерностью 2, не связанные с начальными условиями, на которых определенные геометрические величины принимают Шварцшильдовские значения. В свою очередь, GCM уникальные гиперповерхности являются пространственноподобными гиперповерхностями с коразмерностью 1, которые покрыты GCM сферами и на которых проверяются дополнительные условия.
Полученные результаты дополняют знания о гравитации Эйнштейна, и, в частности, показывают, что медленно вращающиеся черные дыры не «разрушаются» в результате малого воздействия гравитационными волнами. Теоретики надеются, что в ближайшие несколько лет они смогут обобщить полученные результаты на случай произвольного углового момента и, таким образом, окончательно доказать теорему об устойчивости решения гравитационной задачи о начальных данных.
Автор: Стефан Курлянд
Источник: https://nplus1.dev/
