В этой статье, которая опубликована в журнале Physical Review B, японский физик провел новое исследование распределения точечных зарядов на поверхности единичной сферы с использованием анализа их частот колебаний. Полученная последовательность “магических чисел” значительно отличается от аналогичной последовательности, выведенной ранее из энергетических соображений. Автор связывает эти аномалии со степенью энергетического вырождения и симметрией распределения зарядов. Данное исследование имеет как практическое, так и фундаментальное значение. С практической точки зрения, знание о распределении зарядов на поверхности сферы будет полезно при синтезе и применении различных нанокластеров, таких как фуллерены. С фундаментальной точки зрения, это исследование связано с решением седьмой из 18 нерешённых математических проблем, сформулированных Стивеном Смейлом, известной также как задача Томсона.
Сложность энергетической структуры состояний зарядов на сфере быстро растет с их числом N. В общем случае ученые строят поверхность потенциальной энергии в фазовом пространстве размерности 2N и ищут в ней глобальный и локальные минимумы. В целом характеристики структуры, например, энергия или устойчивость, зависят от N монотонно, однако для некоторых чисел появляются аномалии. Такие числа физики называют магическими и исследуют с особым интересом. Так, ранее ряд из чисел 12,32,72,122,132,137,146,182,187 и 192 был признан магическим на основании стабильности конфигураций зарядов на сфере.
Японский физик Шота Оно (Shota Ono) из Университета Гифу предложил другой подход к поиску магических чисел. Он учел тот факт, что при ненулевой температуре нужно учитывать колебания всей структуры в окрестности минимумов поверхности потенциальной энергии. Изучая зависимость максимально возможной частоты колебания решетки зарядов, Оно выяснил, что часть найденных им чисел совпадает с ранее приведенными числами, в то время как другие — нет.
Для начала физик записал классический лагранжиан для точечных зарядов, размещенных на сфере единичного радиуса, что позволило получить ему все уравнения движения. Далее, предположив гармоничность колебаний, он переформулировал уравнения через малые отклонения от положений равновесия, и решил оптимизационную задачу с помощью метода Монте-Карло, подтвердив, что заряды на сфере выстраиваются в треугольную решетку. Знания о положении минимумов и кривизне поверхностей позволили ему вычислить частоты колебаний.
Далее Оно исследовал зависимость наибольшей из частот от числа зарядов N. Она представляла собой монотонно растущую кривую, совмещенную с небольшими флуктуациями. Для некоторых магических чисел, однако, флуктуации были особенно существенными. Для их выявления физик построил полуэмпирическую формулу, объясняющую монотонный тренд, после чего вычел ее из значений частот.
Разность частот, полученных из оптимизации и из эмпирической формулы, в зависимости от числа зарядов на сфере. Штрихованные линии обозначают магические числа. Shota Ono / Physical Review B
Отмечая значения N, для которых частоты получились существенно ниже выборки, автор составил ряд магических чисел 12,32,72,132 и 192. Общее количество таких чисел оказалось меньше, чем в использованном ранее подходе, связанном с вычислением полной энергии. Физик объяснил этот факт тем, что величина максимальной частоты отражает отсутствие энергетического разнообразия (то есть, высокую степень вырождения) и икосаэдрическую симметрию распределения зарядов. Проверяя эту гипотезу, он обнаружил еще несколько значений N, равных 212,272,282 и 372, чья степень вырождения была также высока.
В заключение Оно отметил, что результаты его работы демонстрируют другой подход к решению проблемы Томсона. Физик также надеется, что предложенный формализм принесет пользу применительно к реальным физическим объектам, таким, например, как атомные дефекты в металлах.
Ученые не первый раз работают с магическими математическими объектами. Ранее мы уже писали, как поворот на магический угол сделал двухслойный графен сверхпроводящим и как ЦЕРН подтвердил двойную магичность олова-132.
Автор: Марат Хамадеев
Источник: https://nplus1.ru/
