Большинство из нас что-то знают об аксиомах, но, в подавляющем количестве случаев, не понимает что такое аксиома и для чего она вообще нужна. Давайте разберемся. Итак. Рассмотрим исходное определение “аксиома – это положение, которое принимается как истинное без каких либо доказательств”. Иногда это трактуют как то, что аксиома – это что-то, что является настолько незыблемой и очевидной истиной, что не требует никаких доказательств. Проблема такой трактовки состоит в слове “является”, и вот почему. Самый известный и самый лучший пример аксиомы это аксиома о параллельных прямых. Тот самый, который мы учим в школе в виде “через точку не лежащую на прямой линии, в плоскости задаваемой этой линией и точкой, можно провести одну и только одну прямую линию не пересекающуюся с данной прямой линией”.
Мы живём в мире где это правило выполняется, где оно используется науке, технике и искусстве, и начинаем считать что так и должно быть – что есть объективная реальность и есть её непререкаемое отражение называемое “аксиомой”.
Поэтому, когда мы узнаём про неевклидовы геометрии, это производит на нас очень большое впечатление и вызывает у нас удивление. Оказывается, что есть какая-то математическая теория в которой не признают очевиднейшую из истин.
И всё это удивление происходит из-за того что мы банально не помним того, что нам тогда рассказывали на уроках геометрии.
А рассказывали нам то, что “принимается без доказательств” означает не “принимается как истина дарованная свыше”, а строго наоборот – “принимается волевым решением”.
Да, Вы можете сказать “одна и только одна прямая”, можете сказать “ни одной”, можете сказать “больше одной” и волевым решением принять (то есть, назначить) это как истину в трёх разных теориях и логических.
Но то что мы можем волевым решением принять за аксиому любое положение, это не только суть аксиом, но одно из важнейших практических свойств аксиом.
И это тоже было в школьной программе.
“Доказательство от противного” – мы вводим аксиому о том что какое-то утверждение является ложным и пробуем выстроить целостную систему, которая непротиворечива как внутренне, так и с тем что мы считаем реальностью.
“Трением пренебречь” – мы вводим аксиому об отсутствии трения, что не просто является ложным в рамках теорий изучавшихся на других учебных предметах, а является тем что мы считаем противоречащим реальности. И благодаря тому, что мы это сделали, логика расчёта очень сильно упрощается.
Более того, такое обращение с аксиомами происходит не только в рамках школьных уроков, но и в серьёзных расчётах.
Например, основу часто используемого “Уравнения состояния идеального газа” положена аксиома о том что газ рассматривается как монолитная сущность и не состоит из молекул имеющих массу, объём и другие материальные свойства. Благодаря этому у нас есть простое и удобное уравнение.
А ещё, при расчёте вентиляции, в жилых домах и производственных помещениях, воздух рассматривается не как “газ”, а как “несжимаемая жидкость”. В аксиоматику расчёта вентиляции ввели положение противоречащее физической реальности и получили удобный и практичный математический аппарат.
То есть, аксиома это не “то как есть на самом деле”, и даже не “то что выглядит как то что есть на самом деле”. Аксиома это “в рамках данного расчёта/проекта/теории будем исходить из вот этого, и не важно как оно на самом деле”.
Но кроме торжества волюнтаризма (а возможно и оппортунизма), из “принимается без доказательства” следует ещё одно важное свойство аксиом.
Пятый постулат Евклида
Пятый постулат Евклида это та самая аксиома о количестве прямых которые можно провести через точку (она же, “аксиома о параллельных прямых”).
Дело в том, что сформулированная в нём идея настолько очевидна, настолько на поверхности, что возникает ощущение её закономерности. А если что-то закономерно, то возникает соблазн эту закономерность разложить на более мелкие части и доказать.
И тут снова возникает проблема трактовки аксиом как того что есть на самом деле. Потому, что, в этом случае, идея “доказать пятый постулат Евклида” приобретает мистический налёт “доказать реальность” и “познать истину”.
На самом деле, тема “доказательства аксиомы о параллельных прямых” она не о мистике или объективной реальности. А о чём же тогда?
Ну, во-первых, для математиков это вопрос спортивного азарта, профессиональной гордости и желания поместить себя в пантеон математиков всех времён и народов.
А во-вторых, она о том самом свойстве аксиом “принимается без доказательства”.
Ну вот смотрите, у вас есть 5 аксиом, на которых вы построили всю геометрию. Вот эти вот теоремы, уравнения и деления угла с помощью циркуля, они построены на 5 аксиомах.
Делаете из 2 аксиом вывод, из 3 других аксиом другой вывод, потом делаете из этих выводов ещё один, потом добавляете ещё щепотку аксиом и ещё вывод. И так, шаг за шагом строите всю геометрию, используя аксиомы как кирпичики. Где-то кирпичики используются сами, а где-то в виде уже сложенной стены с окошком и дверью на лоджию.
И что же произойдёт в случае если получится доказать пятую аксиому?
Правильно – аксиом останется 4, потому что аксиома принимается без доказательств, и если её, в рамках данной теории, доказали, то это не аксиома, а ещё один вывод.
Само собой, это никак не повлияет на объективную реальность и не изменит основу мироздания. У нас просто изменится набор аксиом, и произойдёт это лишь в рамках геометрии. Потому что аксиома является аксиомой лишь в рамках собственной теории, а за её пределами она может быть и аксиомой, и выводом, и даже, как говорилось выше, заведомо ложной идеей.
И вот это вот свойство аксиом, которое требует чтобы они не были доказуемы в рамках собственной теории, является очень полезным практически.
Разложить на аксиомы
Итак, представим что у нас есть аксиомы:
- кирпич
- строительный раствор
- плиты перекрытий
- балки для дверных и оконных проёмов
Вы можете строить этот дом с нуля на месте, а можете построить две половинки, а потом передвинуть их друг к другу.
Но независимо от того, как был построен этот дом, он может быть разложен на аксиомы единственным образом.
Потому, что если вы разложили дом на два разных набора, где в одном меньше кирпичей, но больше балок, то значит они взаимозаменяемы и одно можно собрать из другого.
Что противоречит сути аксиом как единиц, которые нельзя доказать.
Это как разложение чисел на простые сомножители, если удалось разложить более чем одним способом, то в результатах разложения указаны не только простые числа.
Хотя, это не самый удачный пример, потому что в случае разложения на сомножители, эта единственность двухсторонняя. А вот когда у нас есть более сложная теория, то в обратную сторону единственности нет.
Мы можем взять текст, отбросить все пробельные символы, привести к нижнему регистру и разложить его на печатные символы, записав результат в формате “а#2;б#1;в#54;г#92;з#23;”. И для каждого текста это разложение будет единственно возможным.
Для строчки “мама мыла раму” это будет: “а#4;л#1;м#4;р#1;у#1;ы#1;”
Для статьи “Реальность существует и это надо учитывать”: “!#1;”#80;%#32;(#10;)#10;*#1;,#275;-#64;.#182;/#63;:#34;=#2;?#9;@#2;[#11;]#11;_#7;a#43;b#21;c#37;d#35;e#39;f#11;g#12;h#33;i#67;k#15;l#19;m#27;n#37;o#36;p#41;q#1;r#41;s#42;t#72;u#25;v#8;w#11;x#1;y#7;z#1;»#1;а#1105;б#209;в#565;г#179;д#365;е#1119;ж#117;з#267;и#1350;й#172;к#497;л#466;м#538;н#1043;о#1602;п#376;р#733;с#802;т#1070;у#269;ф#83;х#166;ц#76;ч#336;ш#62;щ#63;ъ#5;ы#352;ь#281;э#73;ю#83;0#52;я#271;ё#70;№#4;1#41;2#57;3#19;4#15;5#9;6#7;7#16;8#15;9#9;”
Для статьи “Парадигму UNITS в массы”: “!#3;”#36;##3;%#5;(#11;)#11;*#7;,#155;-#15;.#118;/#34;:#8;?#8;@#3;#4;^#2;_#4;a#14;b#7;c#15;d#13;e#13;g#2;h#11;i#10;j#2;l#3;m#16;n#19;o#15;p#4;r#11;s#16;t#21;u#9;v#1;x#1;y#2;«#8;»#8;а#732;б#125;в#403;г#151;д#249;е#766;ж#86;з#191;и#806;й#111;к#273;л#337;м#418;н#645;о#1102;п#257;р#455;с#562;т#796;у#241;ф#42;х#85;ц#25;ч#215;ш#35;щ#58;ъ#4;ы#194;ь#231;э#47;ю#47;я#153;ё#42;0#31;‑#4;—#2;“#3;„#3;1#10;2#21;3#8;4#7;5#9;6#12;7#10;8#2;9#5;”
И кроме проверки скобок на парность, это даёт нам ещё вывод. Если разложение на аксиомы даёт единственный результат, то несовпадение разложения указывает на то, что раскладывались разные тексты.
Да, по сути, в результате разложения на аксиомы получается контрольная сумма:
- если она различается, то мы сравниваем разные тексты
- если она совпадает, то это могут быть как одинаковые, так разные тексты
- мы не знаем каким был исходный текст
Да, мы можем попытаться побороть обессмысливание результата тем, что будем раскладывать текст не на аксиомы в виде букв, а остановимся на промежуточном варианте – разобрав текст на осмысленные словосочетания. Однако, за этом нам придётся заплатить вариативностью разложения на словосочетания, а значит, мы не сможем использовать это как механизм контроля. Потому, что разложение на словосочетания может быть разным не только разным у разных людей, но и разным у одного и того же человека в разное время.
А раз есть вариативность разложения, то нет возможности использовать контрольную сумму для проверки неизменности текста. И получается, что у нас есть два варианта:
- Полностью утратить смысл текста, но достаточно надёжно (но не 100%) определять его неизменность.
- Либо сохранить указание на смысл текста, но полностью утратить механизм контроля его неизменности.
7 аксиом Международной системы единиц (СИ)
Да, речь о п.2 в Парадигме UNITS – “У величин должна быть размерность, соответствующая их физическому смыслу” и примере размерности вязкости жидкости. У нас есть три варианта размерности вязкости:
- Исходная “трёхэтажная” размерность, полностью соответствующая формуле и физическому смыслу вязкости жидкости.
- Вариант “Па*с” , имеющий смысл в рамках конкретного математического аппарата, использующего тензорное исчисление.
- Вариант в СИ – “m-1kg1s-1”
п.1 позволяет напомнить оператору о том, с чем он имеет дело и как правильно использовать формулу.
п.2 полезен в отдельных ситуациях, но изначальный смысл уже утрачен, а однозначной “контрольной суммы” ещё нет.
п.3 позволяет подстраховаться на предмет некорректного сложения. Смысл полностью утрачен, но единственно возможный вариант сокращения размерности в виде разложения до 7 аксиоматических базовых величин СИ даёт нам “контрольную сумму”.
Да, п.3 не даёт 100% защиты от того, что будет произведено сложение величин с разным физическим смыслом. Потому что разные по смыслу величины могут дать одинаковый вариант сокращения.
Например, “поверхностное натяжение” и “энергетической экспозиции” сокращается до варианта “kg1s−2”. А чисто механический “Н/с” и спектральная плотность потока излучения “(Вт/м^2)/м” сокращаются до одного и того же варианта “m1kg1s−3”.
И тем не менее, не смотря на все коллизии и местами удивительные варианты возникающих контрольных сумм, сокращение размерности до 7 основных величин СИ является надёжным инструментом контроля совпадения размерностей в процессе компьютерного расчёта.
И именно потому, что основные величины СИ являются аксиомами – назначенными единицами, которые невозможно сконвертировать друг в друга, а значит имеющими единственный вариант сокращения.
И всё это становится возможным после того, как мы откажемся от странной идеи о том что аксиомы это прям настоящая истина, и вернёмся к тому чему нас учили в школе: “аксиома это положение принимаемое без доказательств, то есть волевым усилием.”
Седьмая единица измерения СИ
Но есть и ложка дёгтя у этой бочки мёда, которую я вылил на аксиомы, чтобы они стали для вас привлекательней, понятней и полезней (а это реально полезно, понимать что такое аксиоматика твоей собственной модели, теории или построения, и как с этой самой аксиоматикой работать).
Дело в том, что физики, в отличии от математиков, сумели вывести одну аксиому из других. Единица измерения температуры “Кельвин” уже давно пересчитывается через константу в “Джоуль”.
А это значит, что по научному, температуру надо измерять не в “Кельвинах” или “градусах Цельсия”, а в “kg1m2s−2”. Живите теперь с этим.
И не пытайтесь найти в варианте “kg1m2s−2” физический смысл, потому что это просто единственный вариант разложения до аксиом – он удобен, но бессмысленен.
А ещё, это значит, что, при сокращении размерности в процессе компьютерного расчёта, “Кельвин” надо бы тоже пересчитать в “Дж”, но исключительно как размерность, без затрагивания численного значения результатов вычисления.
Вобщем, вопросов много и давайте отложим эту тему для следующего повествования.
Автор: Михаил Елисейкин @muxa_ru
Источник: https://habr.com/