Что вы знаете о правильных многоугольниках и Платоновых телах: геометрическая гармония мироздания у вас на ладони

Источник фото: https://mnogogranniki.ru/.  Предлагаем нашим читателям познакомиться с платоновыми теламаи, которые являются правильными многогранниками. Со времен Древней Греции человеку было хорошо известно, что правильных многогранников существует всего пять. Платоновы тела являются совокупностью всех правильных многогранников, включая объемные, т.е. трехмерные тела, ограниченные равными правильными многоугольниками, которые были описанны Платоном и поэтому получили название от его имени. Этим телам посвящена заключительная, часть книги “Начал” Евклида, который являлся учеником Платона. При всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П. т., в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий мироздания: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

>Знание о первоэлементах было доступно древним восточным культурам, таким как индийская и китайская. Платон, а также пифагорейцы, тщательно изучили философские, математические и магические аспекты правильных выпуклых многогранников. Согласно древним знаниям, каждый из этих многогранников соответствует определенной стихии мироздания (первоэлементу)и концентрирует ее энергию. Вершины многогранников излучают энергию, а центры граней поглощают.

“Шизофрения”, творящаяся на картинке выше, обусловлена представлениями древнегреческих философов, согласно которым существует пять основных элементов, из которых состоит мир: земля, вода, воздух, огонь и эфир.

Платон установил соответствие между этими пятью элементами и пятью правильными многогранниками (платоновыми телами):

  • Земля — куб (шестигранник) — наиболее устойчивое и неподвижное тело.
  • Вода — икосаэдр (двадцатигранник) — подвижная и неустойчивая форма.
  • Воздух — октаэдр (восьмигранник) — легкое и подвижное тело.
  • Огонь — тетраэдр (четырехгранник) — острое и колющее тело.
  • Эфир — додекаэдр (двенадцатигранник) — тело, наиболее близкое к шару, символизирующее небесную сферу.

Другой древнегреческий ученый Теэтэт Афинский доказал, что этот список правильных многогранников – исчерпывающий. Об этом писал Евклид в своих “Началах” в 13 книге:

Ссылка на используемую книгу - здесь

Ссылка на используемую книгу – здесь

Однако, более интересным с моей точки зрения является топологически-алгебраическое доказательство этого замечательного факта. Для его понимания не понадобится, в принципе, никаких дополнительных знаний за исключений формулы Эйлера и особого классификатора многогранников – нотации Шлефли.

Символы Шлефли

Задача классификация правильных многогранников в целом различных размерностей – одна из важных задач геометрии, которую проще всего оказалось решить комбинаторными средствами.

Людвиг Шлефли (1814-1895) - швейцарский математик, специалист в области многомерной геометрии и комплексного анализа. Преподавал в Бернском университете

Людвиг Шлефли (1814-1895) – швейцарский математик, специалист в области многомерной геометрии и комплексного анализа. Преподавал в Бернском университете

В своей диссертации Шлефли дал полную классификацию правильных многогранников для n-размерных пространств. С тех пор в научный оборот вошел т.н. символ Шлефли {n,m}, где n – количество углов в грани, m – количество граней, которые сходятся в вершине.

Додекаэдр - это правильный многогранник, имеющий по 3 пятиугольника вокруг каждой вершины. И да, куб - это гексаэдр в том смысле, что у него восемь вершин.

Додекаэдр – это правильный многогранник, имеющий по 3 пятиугольника вокруг каждой вершины. И да, куб – это гексаэдр в том смысле, что у него восемь вершин.

Нотация Шлефли простирается и за пределы третьего измерения. Например, символом {4,3,3} обозначается тессеракт (гиперкуб). Он имеет по три куба {4,3} у каждого ребра.

Запомните эти символы. Они встретятся нам в конце повествования. Переходим к следующему инструменту.

Великая формула Эйлера

Одно из самых известных открытий великого математика – это формула, которая связывает количество вершин, ребер и граней всякого многогранника, топологически эквивалентного сфере:

Обратите внимание, что речь идёт не только о правильных многогранниках, а вообще о всех телах, которые можно получить непрерывными преобразованиями из сферы (т.е. гомеоморфными ей). Эйлерова характеристика, т.о. – это топологический инвариант.

Знаменитая картинка, которая показывает, что бублик и кружка - суть одно и тоже

Знаменитая картинка, которая показывает, что бублик и кружка – суть одно и тоже

Для топологических пространств эйлерова характеристика имеет немного другой вид: χ = 2 – 2g, где g – количество “ручек”. Тор можно получить “приклеив” к сфере одну ручку, значит его Эйлерова характеристика равна 0, если приклеить две ручки – получим двойной тор с характеристикой “-2”:

Подводя краткие итоги: мы будем классифицировать правильные двумерные многогранники (двумерные – в смысле, что их поверхность двумерна, но вложены они всё-таки в трехмерное пространство). Их эйлерова характеристика равна 2.

Классификация двумерных полиэдров

Наша задача состоит в том, чтобы связать символы Шлефли {n,m} с количеством вершин, ребер и граней. Для примера рассмотрим тетраэдр и попытаемся выяснить зависимость.

  1. У тетраэдра 4 грани, в каждой из которых три угла. Т.о., если умножить 4 грани на 3 угла получим 12 чего-то там, что в два раза больше, чем количество его ребер (каждое из них посчитано дважды).
  2. В каждой вершине сходятся m=3 граней. Если умножить 4 вершины на 3 грани получим 12 чего-то там, что в два раза больше количества ребер (их так же считали дважды

В качестве упражнения можно посчитать для куба. В каждой из 6 граней 4 угла, отсюда (6*4)/2 = 12 ребер. В каждой из 8 вершин сходятся 3 грани, что даёт (8*3)/2 = 12 ребер.

В качестве упражнения можно посчитать для куба. В каждой из 6 граней 4 угла, отсюда (6*4)/2 = 12 ребер. В каждой из 8 вершин сходятся 3 грани, что даёт (8*3)/2 = 12 ребер.

Получили три уравнения с тремя неизвестными, которые будем сейчас решать, чтобы получить в чистом виде зависимость от составляющих символа Шлефли:

Такую систему уравнений удобно решить, воспользовавшись параметризацией через некое t. Во второй строчке подставили данные в уравнение Эйлера и затем привели дроби к одному знаменателю

Такую систему уравнений удобно решить, воспользовавшись параметризацией через некое t. Во второй строчке подставили данные в уравнение Эйлера и затем привели дроби к одному знаменателю

Из очевидных соображений, что t > 0 , мы должны потребовать положительности знаменателя. Остается в целых числах решить соответствующее неравенство:

Не только лишь все натуральные числа при умножении дают результат, меньший 4, поэтому у нас не так много работы:

А теперь вспомните рисунок с символами Шлефли для платоновых тел! Как видите, мы получили одно и то же с помощью решения обычной системы уравнений! Алгебраизация – один из самых мощных способов исследования окружающего нас мира.

P.S. Морфоэдр

Эта фигура которая состоит из последовательно вложенных друг в друга платоновых тел.

Пораженный концепцией такого изысканного тела, великий астроном Иоганн Кеплер предположил, что расстояния между известными тогда (стык 15 и 17 веков) шести планетами – Меркурием, Венерой, Землей, Марсом, Юпитером и Сатурном выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников.

Между каждой парой небесных сфер, по которым, согласно его гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел, в результате чего получилась композиция, которая известна в науке как “Космический кубок Кеплера”:

Автор: @andreybrylb
Источник: https://habr.com/