Цянь Сяофэн (Xiao-Feng Qian) и Мигаш Изади (Misagh Izadi) из Технологического института Стивенса предъявили количественное описание свойств электромагнитной волны через аналогию с механической системой материальных точек.

Авторы оперировали с тремя собственными значениями матрицы когерентности световой волны (матрицы 3×3, которая составлена из попарных скалярных произведений трех компонент волны друг на друга). Сначала через эти собственные значения исследователи выразили степень поляризации волны (число в диапазоне от 0 до 1, где 0 отвечает полностью неполяризованной волне, с равными и некоррелированными амплитудами по каждой координатной оси) и меру запутанности состояния волны (также число между 0 и 1, где 0 соответствует нулевой запутанности, то есть чистому состоянию). Выяснилось, что независимо от величины собственных значений сумма квадратов степени поляризации и меры запутанности равна единице.

Далее физики рассмотрели систему из трех материальных точек, которые размещены в вершинах правильного треугольника, вписанного в единичную окружность. Массы материальных точек ученые положили равными собственным значениям матрицы когерентности.

Поскольку собственные значения не обязаны быть равными, центр масс такой системы вообще говоря не совпадает с геометрическим центром. Авторы заметили, что длина отрезка, который соединяет эти центры, совпадает со степенью поляризации волны, а мера запутанности равна длине перпендикулярного отрезка, который соединяет центр масс с точкой на единичной окружности. Сумма квадратов этих величин по теореме Пифагора совпадает с радиусом окружности, а значит равна единице — то есть оптическое соотношение в механической аналогии выполняется тождественно, из геометрии.

В рамках исследования упростить какие-либо вычисления не удалось, ведь чтобы ввести механическую систему, нужно заранее знать собственные значения матрицы когерентности, а имея их, можно вычислить степень поляризации и меру запутанности и без всяких аналогий. Тем не менее, авторы отмечают, что механическая аналогия имеет ряд других преимуществ: дает дополнительную наглядную интерпретацию поляризации и запутанности, а также легко обобщается на произвольную размерность пространства (для N-мерной волны материальные точки следует расположить в вершинах правильной фигуры в пространстве размерности N – 1, а общие соображения остаются прежними).

Заманчивые аналогии не всегда оказываются верными: ранее мы писали о том, как физики исключили аналог второго закона термодинамики для энтропии запутанности.

Для любознательных

Механический вариант сопоставления степени поляризации и меры квантовой запутанности света нужен прежде всего для наглядной интерпретации абстрактных квантовых понятий через привычную классическую механику — и это даёт сразу несколько важных преимуществ.

Зачем это нужно: основные цели

• Сделать сложные квантовые характеристики интуитивно понятными. Степень поляризации и мера запутанности — это безразмерные величины от 0 до 1, которые описывают тонкие корреляции в состоянии света. В механической аналогии их представляют как длины отрезков в простой геометрической конструкции (например, расстояние между геометрическим центром и центром масс системы материальных точек). Тогда соотношение «сумма квадратов поляризации и запутанности равна 1» превращается в очевидное следствие теоремы Пифагора. Это помогает студентам и исследователям «почувствовать» связь между поляризацией и запутанностью.
• Унифицировать описание для разных размерностей. Аналогия легко обобщается: для N-мерной волны можно рассмотреть систему материальных точек в пространстве размерности N−1. При этом общие геометрические принципы остаются теми же, а формулы приобретают прозрачный смысл.
• Дать дополнительные способы вычисления через классические величины. Например, степень поляризации можно выразить через разность моментов инерции механической системы относительно осей, проходящих через геометрический центр и центр масс. Это связывает квантовые характеристики с хорошо знакомыми из механики понятиями — массой, моментом инерции, теоремой Гюйгенса–Штейнера.
• Служить инструментом проверки и перекрёстной верификации. Поскольку механическая модель отражает те же математические соотношения, что и квантовое описание, её можно использовать как независимый способ убедиться в правильности выкладок и выявить возможные ошибки.

Как это устроено на примере

В одной из известных моделей берут три материальные точки, размещённые в вершинах правильного треугольника, вписанного в единичную окружность. Массы точек выбирают равными собственным значениям матрицы когерентности световой волны. Тогда:

• длина отрезка между геометрическим центром треугольника и центром масс всей системы соответствует степени поляризации света;
• длина перпендикулярного отрезка, дополняющего эту конструкцию до прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу окружности (то есть 1), соответствует мере квантовой запутанности.

Из геометрии сразу следует, что сумма квадратов этих длин равна 1 — и это в точности то же соотношение, которое выполняется для степени поляризации $P$ и меры запутанности $C$: P²+C²=1. 

Практическая польза и ограничения

На практике такая аналогия не упрощает прямые вычисления: чтобы построить механическую модель, нужно сначала найти собственные значения матрицы когерентности, а имея их, можно сразу вычислить поляризацию и запутанность без всякой механики. Поэтому её ценность — не в ускорении расчётов, а в концептуальной ясности, обучении и поиске новых идей. Она помогает формулировать гипотезы, находить неожиданные связи и объяснять сложные вещи более широкой аудитории.

Автор: Николай Мартыненко
Источник: https://nplus1.ru/