Известный древнегреческий философ Пифагор определял «созвучие» как гармоничную комбинацию простых нот, которая обусловлена специфическим соотношением простых чисел 3 и 4. В течение длительного времени исследователи пытались найти очевидное психологическое обоснование этого простого утверждения. Несмотря на то что указанные целочисленные пропорции традиционно считаются основой эстетической привлекательности аккордов, а их отклонение — причиной возникновения диссонанса, недавние изыскания ученых из Кембриджского университета, Принстона и Института Макса Планка опровергли этот тезис. Согласно исследованию, опубликованному в журнале Nature Communications, было получено два доказательства ошибочности выводов Пифагора: в обычных условиях прослушивания человеческое восприятие не демонстрирует предпочтения в пользу аккордов с идеальным математическим соответствием.

«Нам нравятся небольшие отклонения. Несовершенство привлекает, потому что оно придает звукам жизнь», – говорит соавтор исследования, Питер Харрисон, сотрудник музыкального факультета Кембриджского университета.

Исследователи также обнаружили, что роль, которую играют математические соотношения, исчезает при рассмотрении некоторых музыкальных инструментов, которые менее знакомы западным музыкантам, слушателям и ученым. К таким инструментам относятся колокольчики, гонги, ксилофоны и другие виды ударных инструментов. В частности, они изучали бонанг, инструмент яванского гамелана, созданный из набора маленьких гонгов.

«Когда мы используем такие инструменты, как бонанг, особые числа Пифагора уходят в прошлое, и мы сталкиваемся с совершенно новыми паттернами консонанса и диссонанса. Форма некоторых ударных инструментов означает, что когда вы ударяете по ним, и они резонируют, их частотные компоненты не подчиняются традиционным математическим соотношениям. Вот тогда-то мы и обнаруживаем, что происходят интересные вещи», – говорит доктор Харрисон.

В западных исследованиях много внимания уделяется привычным оркестровым инструментам, но в других музыкальных культурах используются инструменты, которые из-за формы и физики мы бы назвали «негармоничными».

Исследователи создали онлайн-лабораторию, в которой более 4 000 человек приняли участие в 23 поведенческих экспериментах. Участникам предлагалось сыграть аккорды и дать каждому из них числовую оценку приятности или использовать ползунок для регулировки определенных нот в аккорде, чтобы он звучал более приятно.

В экспериментах участники увеличивали отдельные музыкальные интервалы и оценивали, предпочитают ли они идеально настроенные, слегка диезные или слегка бемольные. Исследователи были удивлены, обнаружив значительное предпочтение легкого несовершенства. В других экспериментах изучалось восприятие гармонии с помощью западных и незападных музыкальных инструментов, включая бонанг.

Ученые обнаружили, что созвучия бонанга четко соответствуют определенной музыкальной шкале, используемой в индонезийской культуре, откуда он родом. Эти созвучия невозможно воспроизвести, например, на фортепиано, поскольку они попадут в щели традиционно используемой шкалы.

«Наши результаты опровергают традиционную идею о том, что гармония может быть только одной, что аккорды должны отражать эти математические отношения. Мы показываем, что существует гораздо больше видов гармонии, и что есть веские причины, по которым другие культуры разработали их», – говорит доктор Харрисон.

Важно отметить, что участники исследования – не музыканты и не знакомые с яванской музыкой – смогли инстинктивно оценить новые созвучия тонов бонанга.

Полученные результаты говорят о том, что если использовать разные инструменты, то можно открыть совершенно новый гармонический язык, который люди воспринимают интуитивно, им не нужно изучать его, чтобы оценить. Многие экспериментальные произведения западной классической музыки за последние 100 лет были довольно сложны для слушателей, потому что они включали в себя абстрактные структуры, которыми трудно наслаждаться. В отличие от этого, психологические открытия, подобные этому, могут помочь стимулировать новую музыку, которая интуитивно нравится слушателям.

Доктор Харрисон надеется, что исследование побудит музыкантов пробовать незнакомые инструменты и посмотреть, не предлагают ли они новые гармонии и не открывают ли новые творческие возможности.

Золотое музыкальное соотношение Пифагора: Математика гармонии от античности до наших дней

Золотое музыкальное соотношение Пифагора — это фундаментальная концепция, объединяющая строгие математические законы, законы акустики и эстетическое восприятие звука [2.1]. Открытая в VI веке до н.э. древнегреческим философом и математиком Пифагором Самосским, эта идея провозгласила, что в основе красоты и космического порядка лежат численные пропорции. Она заложила фундамент европейской музыкальной теории, предопределила развитие композиции и по сей день находит отражение как в классических симфониях, так и в современных цифровых аудиотехнологиях.

Исторический экскурс: От монохорда до «Музыки сфер»

История открытия пифагорейских интервалов окружена легендами. Самая известная из них, описанная поздними античными авторами (Никомахом и Ямвлихом), гласит, что Пифагор проходил мимо кузницы и заметил, как удары тяжелых молотов о наковальню порождают удивительно гармоничные созвучия. Вернувшись домой, он решил проверить эту закономерность экспериментально.

Для этого Пифагор сконструировал монохорд — простейший инструмент с одной струной и подвижной подставкой (порожком), позволяющей изменять длину колеблющейся части струны. Передвигая порожок, философ сделал эпохальное открытие: высота музыкального тона обратно пропорциональна длине струны, а самые приятные для слуха интервалы (консонансы) возникают тогда, когда длины струн соотносятся как простые целые числа первой четверки (1, 2, 3, 4), составляющие священный пифагорейский кватернар — Тетраксис.

Этот акустический триумф привел пифагорейцев к глобальному философскому обобщению — концепции «Музыки сфер» (или Гармонии мира). Они верили, что небесные тела (планеты и звезды), вращаясь вокруг центрального огня, движутся в соответствии с теми же числовыми пропорциями, что и струны монохорда, издавая непрерывную, прекрасную, но недоступную для грубого человеческого слуха космическую музыку.

1. Акустическое соотношение Пифагора (Целые числа)

В основе пифагорейского строя лежит чисто математический подход к звуку. Интервалы строятся путем последовательного отложения чистых, математически точных квинт (соотношение 2:3) и октав (1:2).

Математическая природа интервалов:

• 1:2 (Октава): Деление струны пополам удваивает частоту колебаний (f –> 2f).
• 2:3 (Чистая квинта): Если оставить 2/3 длины струны, частота увеличится в 1.5 раза.
• 3:4 (Чистая кварта): Оставшиеся 3/4 длины струны дают кварту.

Примеры проявления в музыке:

1. Древнегреческие гимны: Музыка Античности (например, сохранившиеся гимны Мезомеда Критского) полностью опиралась на пифагорейский тетрахорд. Вся музыкальная ткань выстраивалась исключительно внутри чистых квартовых и квинтовых рамок.
2. Григорианский хорал (Раннее Средневековье): Католические песнопения без инструментального сопровождения использовали исключительно пифагоровы чистые интервалы. Отсутствие терций (которые в пифагоровом строе звучат резко и фальшиво) создавало строгое, «пустое» и возвышенное звучание.
3. Раннее многоголосие (Органум): В IX–XI веках первые формы европейского многоголосия строились параллельными квартами и октавами. Это напрямую отражало пифагорейский постулат о том, что только совершенные консонантные соотношения целых чисел имеют право звучать в храме.

2. Золотое сечение в музыкальной форме

Если Пифагор дал музыке закон целых чисел для настройки тонов, то его же школа развила учение о золотом сечении 1,618, которое нашло свое применение во временной развертке музыкальных произведений — в их форме и композиционной драматургии. В отличие от частот, золотосеченная пропорция управляет длительностью, указывая точное место для кульминации, смены темы или ввода нового инструмента.

Примеры композиционных решений:

1. Иоганн Себастьян Бах — ХТК (Хорошо темперированный клавир): Исследователи творчества Баха неоднократно доказывали, что во многих его фугах (например, Двухголосная инвенция №1 до мажор) точка вступления темы в противосложении или стретты совпадает с золотым сечением общего количества тактов произведения с точностью до единого знака.
2. Вольфганг Амадей Моцарт — Сонатная форма: Моцарт строил свои фортепианные сонаты в строгом соответствии с математическим балансом. Классическая сонатная форма делится на экспозицию и разработку с репризой. В большинстве сонат Моцарта соотношение количества тактов первой части (экспозиции) ко второй (разработка + реприза) идеально стремится к пропорции 0,618.
3. Бела Барток — Музыка для струнных, ударных и челесты: Венгерский композитор XX века осознанно и глубоко применял числа Фибоначчи (математическое выражение золотого сечения) для расчета формы. В первой части этого произведения кульминация наступает ровно на 56-м такте из 89 общего числа тактов 56/89 = 0,629. Более того, Ксилофонное соло в начале третьей части играет ритмические длительности, основанные на числовом ряду: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3, 2, 1, 1.
4. София Губайдулина — «По мотивам немецкого фольклора»: Современный композитор-авангардист применяет золотое сечение как формообразующий стержень. Длительности фраз, количество ударов, паузы и точки наивысшего драматического напряжения рассчитываются ею заранее по формулам золотого сечения, что создает ощущение природной, органичной структуры.

Современный взгляд науки и экспериментальное опровержение

Долгое время в музыкальной академии доминировал догмат: человеческое ухо биологически запрограммировано предпочитать исключительно чистые пифагорейские пропорции целых чисел. Однако современные нейробиологические и психоакустические исследования внесли серьезные коррективы в эту теорию.

В 2024 году масштабное исследование, проведенное учеными из Кембриджского университета, Принстона и Института эмпирической эстетики Макса Планка, показало, что математический абсолют Пифагора не является универсальным для человеческого восприятия.

Ключевые выводы современной науки:

1. Приоритет легкого несовершенства: В ходе экспериментов выяснилось, что слушатели (как музыканты, так и люди без музыкального образования) часто предпочитают интервалы с небольшим контролируемым отклонением от строгой математической нормы. Идеально чистый пифагоров аккорд может казаться человеческому мозгу слишком стерильным или «статичным».
2. Зависимость от тембра: Пифагорейские законы идеально работают только для простейших синусоидальных волн или струн. Но если инструмент обладает богатым спектром обертонов (как гонг, колокол или перегруженная гитара), человеческое ухо требует изменения математических пропорций, чтобы звук не казался фальшивым. Наше восприятие гармонии адаптивно и привязано к физической природе звукового источника, а не к абстрактным цифрам.

Часто задаваемые вопросы 

В чем разница между пифагоровым строем и современным музыкальным строем?

Пифагоров строй основан на идеально чистых акустических квинтах (соотношение 2:3). Его главный недостаток — невозможность модулировать (переходить) в другие тональности без явной фальши (проблема пифагоровой коммы). Современный мир использует Равномерно темперированный строй, где октава разделена на 12 абсолютно равных полутонов. В нем все интервалы (кроме октавы) математически слегка «фальшивят», зато музыканты могут свободно играть в любой тональности.

Использовал ли Пифагор число Фибоначчи или золотое сечение для настройки нот?

Нет. Сам Пифагор и его прямые ученики использовали исключительно соотношения целых чисел (1, 2, 3, 4) для настройки музыкальной шкалы. Геометрическое понятие пропорции золотого сечения развивалось в его школе параллельно и стало активно применяться в архитектуре и скульптуре, а в музыку (в качестве инструмента расчета композиции и времени) пришло значительно позже.

Правда ли, что поп-музыка пишется по золотому сечению?

Да, чаще всего интуитивно. Продюсеры и авторы песен знают, что трек должен «захватить» слушателя. Если стандартная поп-песня длится около 3 минут (180 секунд), то ее главная кульминация (финальный взрывной припев или соло) практически всегда наступает в районе 110–115 секунды. Это и есть точка золотого сечения 180 x 0,618 = 111,2.

Заключение и перспективы развития технологий

Золотое музыкальное соотношение Пифагора проделало путь от мистического учения древности до строгой академической дисциплины. Сегодня, на стыке искусства и технологий, эта концепция переживает своеобразный ренессанс, трансформируясь в цифровые инструменты будущего.

Перспективы развития:

• Генеративный ИИ и алгоритмическая композиция: Современные нейросети, создающие музыку (например, нейросетевые генераторы треков), обучаются не только на массивах аудиозаписей, но и на жестких математических паттернах. Разработчики интегрируют формулы золотого сечения и динамические пифагорейские сетки в алгоритмы ИИ, чтобы генерируемая музыка обладала естественным для человека ощущением баланса, распределения плотности звука и времени кульминаций.
• Динамический микротюнинг (Microtonal Audio): С развитием цифровых аудиостанций (DAW) у музыкантов отпадает необходимость использовать стандартный равномерно темперированный строй. Современное ПО позволяет синтезаторам на лету менять строй прямо во время исполнения. В будущем технологии аудиопроцессинга позволят автоматически подстраивать интервалы под чистые пифагорейские пропорции в зависимости от акустики зала и тембра инструментов в реальном времени.
• Биоакустический дизайн и нейровеллнес: Математические звуковые пропорции активно внедряются в технологии создания терапевтического звука. На основе пифагорейских консонансов и ритмических сеток золотого сечения разрабатываются адаптивные аудиосистемы для медитации, снижения стресса и стимуляции когнитивных функций головного мозга. Программы подстраивают чистоту интервалов под ЭЭГ-волны пользователя, создавая индивидуальную звуковую среду.

Спустя более чем 2500 лет формула Пифагора доказывает, что музыка остается высшей формой математики, которую мы способны не просто вычислять, но и чувствовать.

Автор: Анна Щербакова
Источник: https://scientificrussia.ru/