Без людей никуда

Когда в школе математика разделяется на алгебру и геометрию, никто не объясняет, зачем или почему это нужно. Предполагается, что внутренняя логика того, что все цифры отныне заменяются буквами (как это происходит в алгебре), ясна сама собой. А если и не ясна, то кто вы такие, чтобы ставить под сомнение школьную программу?

Такой взгляд, когда развитие математики — то есть появление новых задач, методов и теорий — объясняют исключительно внутренними потребностями, называется интерналистским. Метод очень удобный, потому что позволяет объяснить практически все на свете. Например, в таком случае теория алгебр Ли появилась просто потому, что алгебры Ли потребовались математикам, а математики — алгебрам Ли.

На бытовом уровне понятно, что если из любых рассуждений убрать человека и человеческий фактор, то они упрощаются. Взять тот же бизнес: насколько было бы проще работать, если бы подчиненные и контрагенты вели себя именно так, как обещано (заявлено, установлено в договоре), а не так, как они ведут себя на самом деле.

Так же и с наукой — неважно, математика, физика, химия или что-то еще. Теоремы доказываются людьми, а у людей есть интересы и предпочтения. Логично предположить, что интересы людей, которые доказывают эти теоремы, как минимум оказывают влияние на развитие науки. Впрочем, бытовые рассуждения редко убеждают ученых, поэтому нужно что-то посерьезнее.

Кто ставит математические задачи?

Интерналистский подход (когда задачи и методы появляются из внутренних потребностей) долго был доминирующим в истории математики, особенно в западной традиции. Ситуация поменялась в 1931 году, когда в Лондоне прошел II Международный конгресс по истории науки и техники. Участие в нем принимала делегация из СССР, которая сделала две важные вещи.

Во-первых, по утверждению свидетелей, постоянно раздражала Чарльза Сингера, председателя конгресса и очень влиятельного историка науки и технологий, вопросами о влиянии социальных и экономических факторов на развитие науки и технологий. А во-вторых, привезла доклад Бориса Гессена «Социально-экономические корни механики Ньютона».

Конечно, сейчас название доклада выглядит смешным, но на самом деле Гессен задавал очень содержательные вопросы. В частности, как получилось, что закон сохранения механической энергии возник позже, а сам Ньютон не знал ни концепции энергии, ни закона ее сохранения? Притом что в ньютоновском труде Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica («Математические начала натуральной философии») закон сохранения момента, конечно же, был.

Рассуждая, Гессен приходит к выводу, что понятие энергии возникло и стало центральным в связи с развитием технологий, а именно с появлением паровой машины. Это не значит, подчеркивал он, что вся физика определялась исключительно задачами экономики и за каждой теоремой стоит конкретная прикладная задача. Гессен лишь отметил, что влияние социальных и экономических факторов нельзя игнорировать.

Доклад произвел сильное впечатление на участников конгресса. С этого момента в западной традиции историков науки появился экстерналистский подход (иногда, впрочем, доходящий до прямого приложения идей марксизма к науке в целом, но не будем о крайностях). Гессена же расстреляли в 1936 году.

Откуда есть пошла алгебра?

Вернемся к школьной алгебре и переходу от цифр к буквам: чтобы разобраться, в чем заключается его логика, сперва необходимо понять, как появилась алгебра.
В IX веке ученый Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми закончил трактат под названием كِتَابُ ٱلْمُخْتَصَرِ فِي حِسَابِ ٱلْجَبْرِ وَٱلْمُقَابَلَةِ, что можно перевести как «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». Именно ей мы обязаны словом «алгебра». Об этом знает любой школьник, который от скуки читал исторические врезы в учебнике по алгебре. А на алгебре, будем честны, в какой-то момент скучали все.

В трактате аль-Хорезми изложил результаты своей научной деятельности вперемешку с достижениями индийских математиков: позиционную систему счисления, методы решения квадратных уравнений и даже немного тригонометрии — и это все в IX веке. Объясняя методы решения, аль-Хорезми вводил две «именные» операции.

Первая, аль-джабр, — это перенос коэффициента с минусом из одной части равенства в другую уже с плюсом, то есть превращение уравнения x — 2 = 5 в уравнение x = 2 + 5. Вторая операция — аль-мукабала — приведение подобных слагаемых, то есть превращение x + 7 = 1 + 7 в x = 1. Первое слово приглянулось как читателям, так и более поздним переводчикам. Отсюда и название раздела математики — алгебра (хотя алмукабала в качестве названия науки звучит ничуть не хуже).

Несколькими столетиями позже, в 1202 году, в Европе была опубликована книга Liber abaci («Книга абака») Леонардо Пизанского, известного также как Фибоначчи. В ней сравнительно простым языком систематически излагались достижения восточных математиков. Отдельный упор Фибоначчи сделал на практических задачах, связанных с учетом материальных активов, как денежных, так и нет. Благодаря простоте и ясности изложения Liber abaci стал учебником для бухгалтеров.

Социальный контекст появления этой книги можно описать так: множество людей, знавших начала алгебры, на территории современной Италии почти полностью совпадало с множеством людей, которые знали бухгалтерский учет.

А владение навыками бухгалтерского учета именно тогда стало крайне полезным. В XIII–XIV веках в экономике Европы происходили фундаментальные изменения, но нас интересуют лишь два процесса.

Во-первых, усиление роли денег: натуральный обмен, который играл ключевую роль в предыдущие годы, постепенно сходил на нет, уступая место расчетам с деньгами.

Во-вторых, что гораздо более важно, — изменение модели работы торговцев. Средневековый торговец, он же купец, изначально был странствующим, прямо как в сказке «Аленький цветочек», где отец Настеньки отправляется в путешествие, чтобы совершать сделки, менять товар и так далее.

Когда на территории современной Италии и части Франции торговцы переходят к оседлому ведению бизнеса, у них появляются лавки и, следовательно, потребность в бухгалтерском учете. Причем учете довольно непростом: товар привозят из разных мест, часть меняется натурально, часть — за деньги. А деньги в разных странах отличаются, например делаются из разных металлов.

Переход к оседлой торговле, таким образом, потребовал концептуализации процесса — создания понятной системы, которая позволяла бы вести эффективный бухгалтерский учет. Вершиной ее развития стала двойная запись.

Два столбца

Представим себе, что мы купец XIV века, торгующий шерстью, которая в Италии в то время была очень популярным товаром. В нашем распоряжении есть два актива: шерсть и деньги. Для удобства будем считать, что деньги у нас хорошие, то есть равнозначные.

К нам приходит покупатель и приобретает шерсть, расплачиваясь за нее деньгами. Мы списываем товар, получаем деньги и записываем приход. Таким образом, транзакция отображается дважды, условно говоря, в двух столбцах нашей бухгалтерской книги. Единственное требование — в идеале суммы записей в двух столбцах (дебет и кредит) должны совпадать.

Принцип двойной записи абсолютно универсален и почти не изменился с XIV века. Конечно, сейчас все записывается автоматически, а таблички можно выгрузить в Excel, однако принципиально идея осталась той же.

Появление двойной записи стало результатом важной концептуализации процесса торговли: выяснилось, что у совершенно разных товаров есть единое представление в виде некоторой ценности (в примере выше мы выражали ее деньгами). Для эффективной работы надо лишь знать правила работы с этой ценностью, то есть как она преобразуется.

И снова алгебра

Как уже говорилось, множества людей, знавших бухучет в XIV веке, и людей, знавших алгебру, совпадали почти полностью. Экономическая необходимость привела к тому, что эта группа людей изобрела двойную запись — инструмент для эффективного бухгалтерского учета. В его основу легла идея о том, что правила манипулирования объектами важнее самой природы — конкретного численного значения — этих объектов.

Нет ничего удивительного в том, что эти же люди (и, кстати, примерно тогда же) изобрели символическую алгебру. Ту самую, которую учат в школе. Где вместо яблок — буквы, многочлены, приведение подобных слагаемых и формулы (x + y)^2 = x^2 + 2 xy + y^2. Концептуально идея здесь та же самая.

Проиллюстрируем это на примере: в книге Trattato di fioretti Антонио де Маццинги, написанной в 1380-х годах, приводится множество задач на обмен, чаще всего сукна на шерсть. В одной из задач при расчете маржи прибыли возникает уравнение:

1/x + 1/(x + 1) = 1/10

Здесь x — та самая маржа. Уравнение эквивалентно уравнению x^2 — 19x — 10 = 0. Ответ (по традиции рассматриваются только положительные числа, ведь речь о деньгах) оказывается равен (19 + \sqrt{401})/2. Это иррациональное число, записанное в радикалах. Маццинги записывает его именно так, оставляя корень и не переходя к приближениям. Это контрастирует, например, с геометрической теорией того времени, где приближения были обычным делом: в иррациональных числах, которые записываются бесконечными дробями, геометры оставляли всего несколько знаков после запятой.

Если вспомнить, что алгебраисты были еще и бухгалтерами, то эта привычка сразу же становится понятна. Ну и что, что расходы составят иррациональное число? Главное — чтобы баланс сходился.