Спустя несколько десятилетий упорного труда математики смогли полностью понять сложные уравнения, описывающие движения свободных границ – например, границы между льдом и водой. Бросьте кубик льда в стакан с водой. Вы, вероятно, сможете представить себе, как он начнёт таять. Также вы наверняка знаете, что вне зависимости от того, какие формы он будет принимать, вы никогда не увидите кусочка льда в виде чего-то вроде снежинки, состоящего из острых углов или кончиков. Математики моделируют этот процесс таяния при помощи уравнений. Уравнения работают неплохо, однако на то, чтобы доказать, что они подчиняются очевидным фактам реальности, ушло 130 лет. И вот в работе за авторством Алессио Фигалли и Хоакима Серра из Швейцарского федерального технологического института в Цюрихе и Ксавьера Рос-Отона из Барселонского университета, опубликованной весной этого года, подтверждается тот факт, что уравнения соответствуют нашей интуиции. Если снежинки и не являются невозможной для этой модели формой, то вероятность их появления крайне мала, а время существования мимолётно.

«Эти результаты открывают для этой области новые горизонты, — сказала Мария Коломбо из Швейцарского федерального технологического института в Лозанне. – Ранее такого полного и точного понимания данного явления просто не существовало».

Вопрос, связанный с таянием льда в воде, называется задачей Стефана – в честь австрийско-словенского физика и математика Йозефа Стефана, поставившего её в 1889 году. Это важнейший из примеров задачи «свободной границы», в которой математики изучают движение границы между фазовыми состояниями веществ в процессе распространения тепла. В данном случае это граница между льдом и водой.

Много лет математики пытались понять сложные модели этих меняющихся границ. В новой работе для этого используются результаты изучения другой физической системы – мыльных плёнок. На основе полученных в ней данных в новой работе доказывается, что вдоль меняющейся границы между льдом и водой редко формируются острые места вроде кончиков или рёбер, а если они и возникают, то сразу исчезают.

Такие острые места называются сингулярностями, и, как оказалось, они настолько же эфемерны в математике свободных границ, как и в нашем физическом мире.

Плавящиеся песочные часы

Вернёмся к нашему кубику льда в стакане воды. Оба вещества состоят из одних и тех же молекул воды, но эта вода находится в двух разных фазах: твёрдой и жидкой. Существует граница, где эти фазы соприкасаются. Но когда тепло воды передаётся льду, лёд тает, и граница движется. В конечном итоге лёд и эта граница исчезают.

Интуиция может подсказать нам, что граница таяния всегда остаётся гладкой. Ведь вы никогда не резали себе пальцы, вытаскивая лёд из стакана. Но если включить воображение, то легко представить случаи, когда на этой границе могут появиться острые грани.

Возьмём кусочек льда в виде песочных часов и опустим его в воду. В процессе таяния перешеек между двумя половинками должен становиться тоньше и тоньше, пока жидкость не проест его целиком. В этот момент то, что раньше было гладким перешейком, становится двумя острыми кончиками – сингулярностями.

«Это одна из тех задач, в которых естественным образом появляются сингулярности, — сказал Джузеппе Минджоне из Пармского университета. – Об этом нам говорит физическая реальность».

Йозеф Стефан сформулировал пару уравнений, моделирующих тающий лёд

Однако реальность также сообщает нам, что эти сингулярности не выходят из-под контроля. Мы знаем, что они не смогут существовать долго, поскольку вода их быстро расплавит. Возможно, если мы возьмём большой кусок льда, состоящий из песочных часов, тогда у нас получится снежинка. Но существовать она будет недолго.

В 1889 году Стефан рассмотрел эту задачу с математической точки зрения, и выдал два уравнения, описывающих таяние льда. Одно описывает тепловую диффузию от тёплой воды к холодному льду, уменьшающую лёд и увеличивающую объём воды. Второе отслеживает изменяющуюся границу между льдом и водой в процессе таяния. Эти же уравнения могут описывать и другую ситуацию, в которой лёд будет настолько холодным, что окружающая его вода замёрзнет – однако в описываемой работе это не учитывается.

«Важно понять, где две эти фазы решают перейти одна в другую», — сказал Коломбо.

Прошло почти сто лет до того момента, как в 1970-х математики доказали, что у этих уравнений есть твёрдое основание. Задав определённые начальные условия – описав начальную температуру воды и форму льда – можно запустить модель, которая будет работать бесконечно и точно описывать, как температура (или тесно связанная с ней величина, кумулятивная температура) меняется во времени.

Однако у них не получилось сделать так, чтобы модель не приходила к странным и маловероятным сценариям. Уравнения могут описывать границу льда и воды, формирующую лес острых пиков, или острую снежинку, которая остаётся неподвижной. То есть, они не смогли устранить те случаи, в которых модель выдавала чушь. Задача Стефана потребовала показать, что в таких ситуациях сингулярности будут иметь контролируемый характер.

Иначе модель таяния льда могла оказаться полным провалом, водившим за нос многие поколения математиков.

Мыльное вдохновение

За десять лет до того, как математики начли разбираться в уравнениях таяния льда, они достигли потрясающего прогресса в математике мыльных плёнок.

Если опустить два проволочных кольца в мыльный раствор, а потом разделить их, между ними сформируется мыльная плёнка. Поверхностное натяжение будет сохранять её в натянутом состоянии в форме катеноида – вогнутого цилиндра. Эта форма обусловлена минимизацией площади поверхности – того, что математики называют минимальной поверхностью.

Мыльные плёнки моделируются своим отдельным набором уравнений. В 1960-х математики начали их понимать, но не знали, насколько странными могут оказаться решения этих уравнений. Как и в случае с задачей Стефана решения могут быть неприемлемо странными, описывать плёнки с бесчисленным количеством сингулярностей, не похожие на знакомые нам гладкие формы.

Открытие из области мыльных плёнок помогло математикам понять эволюцию границы между тающим льдом и водой

В 1961 и 1962 годах Эннио де Джорджи, Уэнделл Флеминг и другие изобрели элегантный процесс, определяющий, насколько всё плохо в смысле сингулярностей.

Допустим, у вас есть решение для уравнений мыльной плёнки, описывающее форму плёнки, натянутой между двумя поверхностями – такими, как два кольца. Приблизимся к произвольной точке на поверхности плёнки. Как выглядит геометрия рядом с этой точкой? До того, как мы точно будем это знать, мы можем представить себе её в любом виде – от острого пика до гладкого холмика. Математики придумали метод для приближения к нужной точке – будто бы работая с микроскопом с бесконечным увеличением. Они доказали, что при любом приближении вы всегда будете видеть плоскую поверхность.

«Всегда. В этом и суть», — сказал Рос-Отон.

Поскольку поверхность плоская, сингулярности там быть не может. Если бы точка была расположена на пике, математики увидели бы что-то вроде гряды. А из того, что точка выбрано случайно, следует, что во всех точках плёнка должна быть плоской. Таким образом работа доказала, что вся плёнка будет гладкой, без всяких сингулярностей.

Математики хотели использовать схожие методы для работы с задачей Стефана, однако вскоре поняли, что со льдом всё не так просто. Мыльные плёнки всегда гладкие, а вот тающий лёд может порождать сингулярности. И если мыльная плёнка не двигается, то граница льда и воды всё время меняется. Это стало ещё одной трудностью, с которой математикам предстояло справиться позже.

От плёнок ко льду

В 1977 году Луи Каффарелли переизобрёл математическое увеличительное стекло для задачи Стефана. Вместо того, чтобы приближать изображение мыльной плёнки, он придумал, как приблизить границу льда и воды.

«В этом проявилась его великая интуиция, — сказал Минджоне. – Он смог перенести эти методы от теории минимальной поверхности де Джорджи на более общие условия».

Приближая решения для уравнений мыльной плёнки, математики видели только плоскую поверхность. Но когда Каффарелли приближал замёрзшую границу между льдом и водой, он иногда видел нечто совсем другое: замёрзшие точки, почти полностью окружённые более тёплой водой. Это были ледяные пики – сингулярности – оставшиеся после отступления тающей границы.

Каффарелли доказал, что в математике тающего льда присутствуют сингулярности. Он также придумал способ оценки их количества. В самой точке сингулярности температура всегда равняется 0 °С, поскольку сингулярность состоит изо льда. Это понятно. Однако Каффарелли обнаружил, что при удалении от сингулярности температура увеличивается по определённому закону. Если удалиться на единицу расстояния от сингулярности в воду, температура вырастает примерно на единицу температуры. Если удалиться на две единицы расстояния – температура вырастет на четыре единицы температуры.

Это т.н. параболическая зависимость – если построить график зависимости температуры от расстояния, получится парабола. Но поскольку пространство трёхмерно, можно построить график температуры в трёх измерениях, уходящий от сингулярности. Поэтому температура будет выглядеть как трёхмерная парабола, или параболоид.

В общем, идея Каффарелли дала чёткий метод оценки сингулярностей на границе льда и воды. Сингулярности – это точки, в которых температура равняется 0 °С, а изменение температуры вокруг них описывается параболоидом. Получается, что везде, где параболоид становится нулевым, присутствует сингулярность.

И сколько же есть таких точек, где параболоид может равняться нулю? Представим себе параболоид в виде пачки из множества парабол. Подобные параболоиды могут достигать минимального — нулевого – значения вдоль прямой. То есть, каждая сингулярность, изучаемая Каффарелли, может быть прямой – бесконечно тонким ребром льда, а не просто острым пиком. А поскольку из множества прямых можно составить плоскость, остаётся возможность, что множество сингулярностей могут заполнить всю поверхность границы. И если бы это было так, то сингулярности в задаче Стефана оказались бы полностью неконтролируемыми.

«Для модели это было бы катастрофой. Полным хаосом», — сказал Фигалли, в 2018 году получивший высочайшую математическую награду, премию Филдса.

Однако этот результат – лишь самый худший из возможных случаев. Он оценивает максимальное количество потенциальных сингулярностей, но ничего не говорит о том, как часто сингулярности реально встречаются в уравнениях, или как долго они существуют. Но к 2019 году Фигалли, Рос-Отон и Серра придумали интересный способ выяснить больше.

Неидеальные закономерности

Для решения задачи Стефана Фигалли, Рос-Отон и Серра должны были доказать, что появляющиеся в уравнениях сингулярности управляемы – их не так уж много, и существуют они недолго. Для этого им нужно было тщательно разобраться во всех возможных типах сингулярностей.

Каффарелли достиг прогресса в понимании процесса формирования сингулярностей при таянии льда, однако он не мог понять, как подступиться к одной особенности. Он выяснил, что температура воды вокруг сингулярности подчиняется параболическому закону. Также он выяснил, что это не совсем точно – реальное поведение температуры отклоняется от идеального параболоида.

Тогда Фигалли, Рос-Отон и Серра при помощи математического «микроскопа» приблизили это отклонение. Оказалось, что само это отклонение следует своим закономерностям, порождающим различные виды сингулярностей.

Математики Алессио Фигалли, Ксавье Рос-Отон и Хоаким Серра.

«Они вышли за рамки параболического масштабирования, — сказал Сандро Сальса из Миланского политехнического университета. – Это было потрясающе».

Они смогли показать, что все эти новые типы сингулярностей быстро исчезают – как и в природе – кроме двух, особенно загадочных. Им оставалось доказать, что и эти два типа тоже исчезают сразу после появления, не давая возможности появиться чему-то вроде снежинки.

Исчезающие пики

Первый тип сингулярностей уже открывали ранее, в 2000 году. Фредерик Алмгрен исследовал его в своей устрашающей по размеру 1000 страничной работе, посвящённой мыльным плёнкам. Опубликовала её уже после его смерти его жена Джин Тейлор.

Хотя математики доказали, что в трёх измерениях мыльные плёнки всегда остаются гладкими, Алмгрен доказал, что в четырёх измерениях может появиться разветвляющаяся сингулярность нового типа, из-за чего плёнки могут стать странным образом острыми. Это чрезвычайно абстрактные сингулярности, не поддающиеся визуализации. Однако Фигалли, Рос-Отон и Серра поняли, что на границе между льдом и водой могут образовываться очень похожие сингулярности.

«Связь между этими явлениями довольно загадочная, — сказал Серра. В математике развитие теорий иногда идёт по неожиданным путям».

Они использовали работу Алмгрена, чтобы показать, что у льда, окружающего подобную ветвящуюся сингулярность, должна быть коническая форма, не меняющаяся при приближении картинки. И, в отличие от параболоидных закономерностей роста температуры, благодаря которым сингулярность может вытягиваться в линию, у конической закономерности может быть только одна острая сингулярность. Используя этот факт, математики показали, что подобные сингулярности изолированы в пространстве и времени. Они исчезают сразу же, как появляются.

Сингулярность второго типа была ещё более загадочной. Представьте, что мы погружаем в воду тонкий лист льда. Он будет становиться всё меньше и меньше, и внезапно исчезнет. Но перед самым этим моментом он образует листовую сингулярность – двухмерную, острую, как бритва, стену.

Исследователи смогли приблизить определённые точки и найти аналогичный сценарий: два ледяных фронта, тающих по направлению к определённым точкам, так, будто они расположены в тонком ледяном листе. Эти точки нельзя назвать сингулярностями, а лишь местами, где собирается появиться сингулярность. Вопрос состоял в том, исчезнут ли два фронта рядом с этими точками одновременно. Если да, то сингулярность в виде листа появиться только на короткое время. В итоге они доказали, что всё именно так и происходит.

«Это подтверждает интуицию», — сказала Даниэла де Сильва из Барнардского колледжа.

Показав, что экзотическое ветвление и появление листов льда происходит чрезвычайно редко, математики смогли утверждать, что все сингулярности в задаче Стефана появляются редко.

«Если выбрать случайный момент времени, то вероятность увидеть точку сингулярности будет нулевой», — сказал Рос-Отон.

Математики говорят, что на переваривание всех технических деталей этой работы понадобится значительное время. Но они уверены, что результаты заложат фундамент для продвижения во многих других задачах. Задача Стефана – основополагающий пример для целой области математики, относящейся к движущимся границам. Однако, как сказал Сальса, вопрос с задачей Стефана и математикой таяния кубика льда в воде закрыт полностью.

Автор: Вячеслав Голованов
Источник: https://habr.com/

Понравилась статья? Тогда поддержите нас, поделитесь с друзьями и заглядывайте по рекламным ссылкам!