Концентрация простых чисел, обозначенных жёлтыми точками на этой шестиугольной спирали из положительных целых чисел, уменьшается по мере удаления от начала числовой прямой. Эту много раз доказанную закономерность описывает теорема о распределении простых чисел. «Можно не верить в Бога, но нужно верить в Книгу», — сказал как-то венгерский математик Пал Эрдёш. Существующая только в теории «Книга» содержит наиболее элегантные доказательства самых важных теорем. Утверждение Эрдёша намекает на мотивацию математиков, продолжающих искать новые доказательства уже доказанных теорем. Одна из их любимых – это теорема о распределении простых чисел, таких, что делятся только на себя и на 1. И хотя математикам неизвестно, удостоится ли доказательство попадания в «Книгу», за первое место конкурируют два соперника, доказательства, которые одновременно и независимо нашли в 1896 году Жак Адамар и Шарль Жан де Ла Валле-Пуссен. Так что же конкретно утверждает эта теорема? Теорема о распределении простых чисел даёт возможность аппроксимировать количество простых чисел, не превышающих заданное число n.
Это значение называют π(n), где π – функция распределения простых чисел [не связана с числом π / прим. перев.]. К примеру, π(10) = 4, поскольку существует 4 простых числа, не превышающих 10 (2, 3, 5 и 7). Сходным образом π(100) = 25, поскольку среди первых 100 чисел простых насчитывается 25 штук. Среди первых 1000 чисел есть 168 простых, поэтому π(1000) = 168, и так далее. Заметьте, что при рассмотрении первых 10, 100 и 1000 целых чисел процент содержания в них простых чисел падал с 40% до 25% и 16,8% соответственно. Эти примеры намекают, а теорема о распределении простых чисел подтверждает, что плотность простых чисел, не превышающих заданное число, падает с ростом этого числа.
Но даже если бы у вас был упорядоченный список целых чисел вплоть до, допустим, триллиона, кто захотел бы вручную подсчитывать π(1 000 000 000 000)? Теорема о распределении простых чисел даёт возможность сэкономить силы.
Она говорит о том, что π(n) «асимптотически равна» n/ln(n), где ln – натуральный логарифм. Асимптотическое равенство можно представить как примерное равенство, хотя это не совсем верно. К примеру, оценим количество простых чисел, не превышающих триллион. Вместо того, чтобы подсчитывать отдельные простые числа для расчёта π(1 000 000 000 000), можно использовать эту теорему и узнать, что их существует примерно 1 000 000 000 000 / ln(1 000 000 000 000), что равняется 36 191 206 825, если округлить до целого. И от реального их количества, 37 607 912 018, эта оценка отличается всего на 4%.
При асимптотическом равенстве точность улучшается при увеличении чисел, подставляемых в формулу. По сути, чем сильнее мы приближаемся к бесконечности – которая сама по себе не число, а просто нечто большее, чем любое число – асимптотическое равенство приближается к реальному равенству. И хотя реальное количество простых чисел всегда будет выражаться целым числом, значение с другой стороны асимптотического равенства, то есть, дробь, в которой фигурирует натуральный логарифм, может принимать любое значение на вещественной прямой. Такая связь вещественных и целых чисел, по меньшей мере, контринтуитивна.
Всё это немного сносит крышу, даже у математиков. И что самое неприятное, утверждение теоремы о распределении простых чисел ничего не говорит о том, почему выполняется такое соотношение.
«Теорема никогда не была ценна сама по себе. Всё дело в доказательстве», — сказал Майкл Боуд, профессор математики из Квинслендского технологического университета в Австралии.
Хотя оригинальные доказательства Адамара и Ла Валле-Пуссена и были элегантными, они основывались на комплексном анализе – изучении функций комплексных чисел – что не нравится некоторым, поскольку утверждение самой теоремы никак не связано с комплексными числами. Однако Годфри Харолд Харди в 1921 году провозгласил появление не аналитического доказательства – т.н. элементарного доказательства – теоремы о распределении простых чисел “чрезвычайно маловероятным“, и заявил, что если кто-то его найдёт, «придётся переписывать теорию».
Атле Сельберг и сам Эрдёш приняли этот вызов, и в 1948 году каждый опубликовал по новому, независимому элементарному доказательству теоремы о распределении простых чисел, используя свойства логарифмов. Эти доказательства побудили других математиков рассмотреть сходные подходы к гипотезам теории чисел, считавшиеся раньше слишком простыми для таких сложных утверждений. В итоге было получено множество интереснейших результатов, включая элементарное доказательство Гельмута Майера от 1985 года о неожиданных неоднородностях в распределении простых чисел.
«На теореме о распределении простых чисел зиждется огромное количество нерешённых вопросов», — сказал Флориан Рихтер, математик из Северо-западного университета, недавно опубликовавший новое элементарное доказательство этого знаменитого утверждения. Рихтер нашёл его, пытаясь доказать далеко идущие следствия из теоремы о распределении простых чисел.
Со временем специалисты по теории чисел помогли основать культуру, в рамках которой математики доказывают и передоказывают теоремы не только для того, чтобы проверить утверждения, но и для того, чтобы улучшить свои навыки в доказательстве теорем и понимание используемой математики.
Это выходит за рамки теоремы о распределении простых чисел. Пауло Рибенбойм набрал не менее 7 доказательств бесконечности простых чисел. Стивен Кифовит и Терра Стэмпс определили 20 доказательств, демонстрирующих, что гармонический ряд 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + …, не сходится к конечному числу, а Кифовит добавил к ним ещё 28. Брюс Ратнер перечисляет более 371 доказательств теоремы Пифагора, включая замечательные примеры за авторством Евклида, Леонардо да Винчи и 20-го президента США Джеймса Абрама Гарфилда, который на тот момент был конгрессменом от Огайо.
Привычка искать повторные доказательства настолько укоренилась в сообществе, что математики уже практически могут на неё рассчитывать. Том Эдгар и Яцзюнь Ань отметили, что у квадратичного закона взаимности, кроме оригинального доказательства Гаусса от 1796 года, существует ещё 246 доказательств. Они построили график зависимости количества доказательств от времени, и экстраполировали, что к 2050 году можно ожидать появления 300-го доказательства этого закона.
«Мне нравятся новые доказательства старых теорем по той же причине, по которой мне нравятся новые дороги и объезды, ведущие в знакомые мне места», — сказала София Рестад, аспирантка Канзасского университета. Эти новые дороги дают математикам пространственное ощущение места, в котором идут их интеллектуальные занятия.
Математики, возможно, никогда не перестанут искать новые, дающие больше ясности пути к доказательствам как теоремы о распределении простых чисел, так и других своих любимых теорем. Если повезёт, некоторые из них даже удостоятся чести быть вписанными в «Книгу».
Автор: Вячеслав Голованов
Источник: https://habr.com/
Понравилась статья? Тогда поддержите нас, поделитесь с друзьями и заглядывайте по рекламным ссылкам!