В современном менеджменте довольно широко используется математический аппарат, – анализируются возможные стратегии поведения предприятия на рынке, производится математическая поддержка принятия решений, исследуются графики различных зависимостей, выводятся математические формулы, проводится математическая обработка статистических данных, осуществляется компьютерное моделирование экономических и управленческих процессов. Чем же вызвано такое активное проникновение математики в управление и экономику, с какой целью внедряются в бизнес вычислительные алгоритмы?

Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Центральной проблемой экономики является проблема рационального выбора. Чтобы делать правильный и обоснованный выбор (или осуществлять прогноз) необходима математическая поддержка процесса принятия решений. Поэтому роль математических методов в управленческих процессах непрерывно возрастает. Кроме того, математическое моделирование полезно для более полного понимания сущности происходящих процессов, уяснения их экономической природы и движущих сил. В связи с тем, что в настоящее время многие математические теории и их прикладные направления хорошо разработаны (такие, как линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, корреляционный и дисперсионный анализ, методы скалярной и векторной оптимизации), то пользователям можно задействовать возможности мощного и развитого математического аппарата.

К сказанному следует добавить, что компьютерное моделирование и использование математического аппарата подчас существенно снижает издержки предприятия при осуществлении планирования и прогнозирования экономических мероприятий. Экономия средств в данном случае образуется за счет внедрения модельных экспериментов и оптимизационных методов решения многих видов задач.

Остановимся несколько подробнее на понятии моделирования и модельного эксперимента. Общеизвестно, что в основе изучения экономических и иных систем всегда лежит эксперимент – реальный или модельный.1 Смысл реального эксперимента – это изучение свойств на самом практически действующем объекте. Например, реально существующий и действующий объект – спортивное сооружение в виде зимнего Дворца спорта. Для того чтобы выяснить оптимальную цену билетов на игры чемпионата страны по хоккею, можно провести ряд экспериментов по наполняемости зрительской аудитории при различных ценах билетов. Однако такое экспериментирование приводит к неизбежным потерям части прибыли Дворцом спорта, что является крайне нежелательным. В таких случаях целесообразно проводить модельный эксперимент, то есть такой, который проводится не на реально действующем объекте, а на его виртуальном аналоге – модели. Построение моделей и изучение свойств систем при помощи таких моделей называется моделированием.

Моделирование оказывается незаменимым инструментом и при построении экономических прогнозов, то есть вероятных суждений о состоянии какого-либо явления или системы в будущем. Прогнозирование является одной из форм предвидения перспектив развития событий, которое в экономике является ценнейшим ресурсом, так как предвидение – залог будущей прибыли.

При изучении экономических систем и прогнозировании их будущего состояния чаще всего используют математическое моделирование (так как эксперимент на реальном объекте, как было сказано выше, ведет к необоснованным издержкам). Под математическим моделированием понимается концентрация наших знаний, представлений и гипотез об оригинале, записанную с помощью математических соотношений.

Математическая модель представляет собой упрощенную модель оригинала. В результате такого упрощения происходит сокращение размерности состояний исходной системы. В то же время сформированная модель должна вести себя также как и оригинал, то есть между оригиналом и математической моделью должно быть взаимное соответствие.

Построение экономико-математических моделей включает в себя несколько этапов (см. рис.1).

Рис.1. Процесс построения моделей.

Формирование экономико-математической модели начинается с постановки задачи, которая, в свою очередь, открывается определением целей моделирования. Далее, исходя из целей исследования, устанавливаются границы изучаемой системы, условий ее функционирования и необходимый уровень детализации моделируемых процессов. Кроме того, в постановку задачи включаются критерии оценки эффективности функционирования оригинала и возможные ограничения на их значения. Большое значение имеет также описание потоков информации, циркулирующих между оригиналом и внешней средой, взаимосвязь внутренних элементов, описание ограничений на выделенные ресурсы.

Построение модели, как и управление, является процессом. Основные этапы процесса — постановка задачи, построение, про­верка на достоверность, применение и обновление модели.

Постановка задачи — первый и наиболее важный этап построе­ния модели, способный обеспечить правильное решение управленчес­кой проблемы. Использование математики и компьютера не принесет никакой пользы, если проблема не будет точно определена.

Руководитель, сформулировав проблему, должен суметь выя­вить симптомы и их причины. Например, жалобы ритейлеров на за­держки выполнения их заказов могут быть следствием производ­ственных проблем на предприятиях. Причиной может оказаться нехватка сырья и запасных частей к оборудованию, которые обуслов­лены плохим планированием.

Следующим этапом построения модели является синтез, то есть формирование структуры и описание параметров модели. Структурный синтез заключается в построении в рамках поставленной задачи некоторого количества альтернативных вариантов моделей, отличающихся степенью детализации и учета тех или иных особенностей функционирования оригинала.

Этап анализа модели заключается в изучении ее свойств и поведения в различных условиях функционирования. На этой стадии производится выбор и расчет критериев эффективности для каждой из построенных на этапе синтеза моделей. Такими критериями могут быть, например, минимум издержек на единицу производимой продукции или максимум качества предоставляемой потребителям товаров и услуг.

Различают следующие виды математических моделей:

• Аналитические – это модели, представляющие собой совокупность аналитических выражений и зависимостей;
• Имитационные – это модели, основанные на компьютерном эксперименте; являются переложением на машинный язык описаний моделируемых объектов. Эти модели позволяют имитировать функционирование систем на компьютере, производить при этом измерения и обработку необходимых данных;
• Численные – это модели, представленные в виде различных численных методов и схем, как правило, обеспечивающих приближенное решение задачи;
• Алгоритмические – это модели, представленные алгоритмами в виде определенной логической последовательности выполнения операций на компьютере.

Следует отметить, что в теории и практике экономико-математического моделирования используется и ряд других типов моделей, характеризующихся разной степенью сложности и различным предназначением.

Ориентация управления на будущее. Невозможно наблюдать яв­ление, которое еще не существует и может быть никогда не будет существовать. Поэтому моделирование — единственный способ увидеть варианты будущего, определить потенциальные последствия возможных решений, сравнить их и выбрать предпочтительное.

Проверка модели на достоверность почти всегда необходима. Во-первых, надо определить степень соответствия модели реальному явлению, установить, все ли существенные факторы реальной си­туации встроены в модель. Во-вторых, следует понять, насколько моделирование действительно помогает руководству решить про­блему. В рассмотренном примере необходимо проверить, действи­тельно ли модель даст возможность планировать заказы на сырье и материалы, запасные части так, чтобы устранить жалобы магази­нов на задержки поставок. Желательно проверить модель на ситуа­ции, имевшей место в прошлом.

Применение модели. Основная причина ограниченного исполь­зования моделей руководителями заключается в том, что они не понимают их и поэтому опасаются применять. Во избежание этого руководители должны принимать участие в постановке задачи, ус­тановлении требований к результатам моделирования.

Обновление модели производится, если руководству потребуют­ся выходные данные в более удобной форме или дополнительные данные. Если цели организации изменяются, могут измениться и критерии принятия решений. Вновь появившаяся информация мо­жет помочь уточнить модель.

Проблемы моделирования могут порождаться недостоверными исходными допущениями. Некоторые предпосылки, положенные в основу модели, не могут быть точно оценены и объективно прове­рены, например, предположение о росте продаж в будущем году на определенную сумму, не поддается проверке.

Информационные ограничения являются основной причиной недостоверности предпосылок и других затруднений при модели­ровании. Точность модели определяется точностью информации по проблеме. Нередко возникают ситуации, когда невозможно полу­чить информацию по всем важным факторам и использовать ее в модели. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но на это может не хватать времени или это может оказаться слишком дорого.

Страх пользователей. Основная причина недостаточно широко­го использования моделей заключается в том, что руководители, для которых они создаются, часто не вполне понимают получаемые результаты и потому боятся их применять. Причиной является недо­статок у них знаний в этой области. Для борьбы с этим специалистам по количественным методам анализа следует значительно больше своего времени уделять ознакомлению руководителей с возможно­стями и методикой использования моделей.

При оценке издержек на моделирование руководству следует у читывать затраты времени руководителей высшего и низшего уров­ней на построение модели и сбор информации, расходы и время на обучение, стоимость обработки и хранения информации. Модели, имеющие чрезмерно высокую стоимость, неэффективны.